第六节 一元二次不等式恒成立问题 题点一 在实数集R上的恒成立问题 [例1] 若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 ( ) A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2) |思维建模| 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或 [即时训练] 1.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为 ( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 题点二 在给定区间上的恒成立问题 [例2] 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 方法引入:解决此题可从两方面入手,一是函数法,对m>0,m<0分别讨论,从而确定g(x)在[1,3]上的单调性,求出最大值;二是分离参数,再求出对应函数在[1,3]上的最小值. |思维建模| 在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一:若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围. 策略二:转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a. [即时训练] 2.已知函数f(x)=ax2-2x+a,对x∈都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.[1,+∞) B. C. D. 3.已知函数f(x)=x2-x+1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围; (2)若 x∈[1,2],f(x)≥2成立,求实数a的取值范围. |习得方略| 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值,即a>f(x)能成立 a>f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max. 题点三 变换主元解决恒成立问题 [例3] 已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 ( ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) |思维建模| 给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立 即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立 [即时训练] 4.若命题“ -1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 ( ) A.{x|-1≤x≤4} B. C. D. 第六节 一元二次不等式恒成立问题 题点一 [例1] 选C 当k=0时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不符合题意;当k≠0时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,所以解得2
0时,g(x)在区间[1,3]上单调递增, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则00,所以m<. 因为函数y==在区间[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 因为m≠0,所以m的取值范围是. [即时训练] 2.快审准解:根据不等式恒成立,分离参数,可得a≥,对x∈恒成立,构造函数,结合函数的单调性求其最小值,即可求得答案. 选A 由题意知ax2-2x+a≥0对x∈恒成立,即a≥=,对x∈恒成立.设g(x)=x+,由于g(x)在上单调递减,在[1,2]上单调递增, 所以g(x)min=g(1)=2,则≤1,当且仅当x=1时等号成立,故a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞),故选A. 3.解:(1)由题意得Δ=-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的 ... ... 