2024-2025学年上海杨浦区高二下学期数学区统考试卷（含答案）

杨浦区2024-2025学年第二学期高二年级数学期中统考 2025.4 一、填空题（每题3分，满分36分） 1．直线的斜率为 ． 2．椭圆的长轴长为 ． 3．抛物线的准线方程是 ． 4．已知空间向量，，若，则实数的值为 ． 5．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 6．已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ． 7．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则 ． 8．已知圆与圆内切，则实数 ． 9．已知直线与直线平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 10．已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小 为_____． 11．斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 ． 12．如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ． 二、选择题（每题3分，满分12分） 13．若直线经过第一、二、四象限，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 14．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与该双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 16．过原点的直线与双曲线交于、两点，其中点在第二象限，将下半平面沿轴折起，使之与上半平面成直二面角，则线段的长度的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 三、解答题（满分52分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．已知三个顶点坐标分别为、、． （1）求的面积； （2）求边上的中线与边上的高的交点坐标． 18．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线交抛物线于、两点，若，求直线的方程． 20．如图所示，在直三棱柱中，，，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 21．已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，交轴于点．若，，求证：为定值． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 ． 【答案】 【解析】斜率为1的直线过抛物线的焦点， 设直线1的方程为，若与圆相切，可得， 解得或18．故答案为：2或18． 12．如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：，设，则， 可得，因为，则解得，即点的横坐标为．故答案为：． 二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.B 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与该双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点在以为直径的圆上，，可得① 又点在双曲线的渐近线上，②， ①②联解，得且，可得双曲线的方程，故选A. 16．过原点的直线与双曲线交于、两点，其中点在第二象限，将下半平面沿轴折起，使之与上半平面成直二面角，则线段的长度的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【解析】设过原点的直线为，与双曲线联立得交点. 折叠后，点Q的坐标为 线段PO的长度为： 令，则.当时，，故选B. 三．解答题 17.（1） （2） 18. 19.（1） （2） 20．如图所示，在直三棱柱中，，，，是棱的中点． （1）求证：平面；（2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系. 由题意知，，，，， 又平面 （2）设是平面的法向量．则， 又，，取，得． 由（1）知，是平面的一个法向量， 记与的夹角 ... ...