广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若与共线，则实数（ ） A． B． C．1 D．2 3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A． B．1 C． D． 6．已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知复数，，则（ ） A．的虚部为1 B．为纯虚数 C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 10．在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 11．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ） A． B．当时， C．面积的最大值为 D．游览路线最长为 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知向量和向量的夹角为30°，，，则 ． 13．已知是虚数单位，复数，则|z|＝ ． 14．在中，，，则的值为 ． 四、解答题（本大题共5小题） 15．设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 16．已知，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 17．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 18．养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 参考答案 1．【答案】D 【详解】. 故选D. 2．【答案】C 【详解】已知向量,,所以， 因为与共线，所以，解得：. 故选C. 3．【答案】A 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选A. 4．【答案】A 【详解】由可得，故，所以. 由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到. 综上得，“”是“”的充分不必要条件. 故选A. 5．【答案】C 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选C. 6．【答案】B 【详解】由题意可作图如下： 由，则 由，则， 解得， 易知，则， 即， . 故选B. 7．【答案】B 【详解】，， ， 依题意，，当时，，B正确，ACD错误. 故选B 8．【答案】A 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以， ... ...