2024-2025学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( ) A. B. C. D. 2.在中，为的中点，若，，则为( ) A. B. C. D. 3.下列命题中正确的是( ) A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 4.在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， 该函数的值域为；该函数的图象关于原点对称； 该函数的图象关于直线对称；该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。 5.化简向量运算： ． 6.在中，若，则这个三角形一定为 三角形． 7.已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为 ． 8.已知，则 ． 9.已知，则在方向上的投影为 10.已知向量，，则的最大值为 ． 11.已知奇函数的一个周期为，当时，，则 ． 12.已知平面向量，，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 13.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值等于 ． 14.已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，． 求的值； 若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值． 16.本小题分 已知向量，满足，，． 求与的夹角的余弦值； 求． 17.本小题分 如图，某城市有一矩形街心广场，如图其中百米，百米现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求． 若百米，判断是否符合要求，并说明理由； 设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值． 18.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期； 若函数，求函数的单调递减区间； 若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围． 19.本小题分 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点． 设，写出函数的相伴向量； 已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； 已知，，为中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.直角 7. 8. 9. 10.． 11. 12. 13. 14. 15.解：，，， ． 由题意，， 由知，， 则． 16.解：，，， ， ， ； 由知， ， ； 17.解：由题意，，， 所以 所以，不符合要求 ，， 所以， ， 所以，的最小值为． 18.解：因为， 所以． ， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为． 由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图： 由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为． 19.解： 所以函数的相伴向量； 由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 即的最大值为，最小值大于边．所以的取值范围为 由知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得． 第1页，共1页 ... ...