2024-2025学年湖南省长沙市湘军高级中学高一下学期期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( ) A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2.已知复数，则的共轭复数是( ) A. B. C. D. 3.已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中，，，则直角梯形边的长度是 A. B. C. D. 4.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是( ) A. B. C. D. 6.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为( ) A. B. C. D. 7.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则． C. 若，则 D. 若，则． 10.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形( ) A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆 11.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是( ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是 填序号 异面直线与所成的角为； 直线与垂直； 直线与平行． 13.已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 ． 14.已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，． 以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； 求该三棱柱的外接球的表面积． 16.本小题分 如图，直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，点，分别是，的中点． 若平面，求长度； 证明：平面； 17.本小题分 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点． 求的取值范围； 当三点共线时，求三角形的面积． 18.本小题分 如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． 求证：点为线段的中点； 求点到平面的距离． 19.本小题分 如图，在三棱锥中，，，． 证明：平面平面； 若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.因为底面三角形的边长分别为，，， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩下的几何体的体积． 由直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的球半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为． 16.解：因为平面，即平面， 又平面，所以， 设，则， 又，解得； 如图所示： 取线段的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面， 又，所以，同理平面， 又， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． 17.解：因为， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以； 因为， 且三点共线时，有， 即， 解得 此时，， 所以， 所以． 18.由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平 ... ...
