2024-2025学年广东省江门市鹤山市纪元中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市鹤山市纪元中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，已知，，，则角的值为( ) A. 或 B. C. D. 或 2.已知复数满足：，则( ) A. B. C. D. 3.已知角的终边上一点的坐标为，则( ) A. B. C. D. 4.下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是( ) A. B. C. D. 5.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A. B. C. D. 6.在中，，，若点满足，则( ) A. B. C. D. 7.若，则( ) A. B. C. D. 8.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若复数，则下列说法正确的是( ) A. B. 的虚部是 C. 在复平面内，所对应的点在第四象限 D. 在复数范围内，是方程的根 10.设向量，则( ) A. B. 与的夹角是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 11.已知函数和，则( ) A. 和的最小正周期相同 B. 和在区间上的单调性相同 C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象 D. 和的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，若与垂直，则正数的值为 ． 13.已知，则 14.已知函数的部分图象如图所示，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，且与的夹角为． 求的值 求的值； 若向量与平行，求实数的值． 16.本小题分 已知，且． 求的值； 已知，且，求的值． 17.本小题分 如图，甲船在距离港口海里并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里． 求的正弦值； 当乙船行驶海里到达处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离． 18.本小题分 函数， 把的单调减区间 求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应的值 把图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有个零点，求的最小值． 19.本小题分 在锐角中，是角的对边，若满足． 求角的大小； 求取值范围； 当取得最大值时，在所在平面内取一点与在两侧，使得线段，求面积的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为，， 所以． 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以． 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得 解得或 所以的值为． 16.解：因为，且，所以， 所以． 因为，，所以， 又，所以， 由知，，， 所以 ． 17.解：由题设，，，， 在中，，则； 由题意，，由及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里． 18.解：依题意，函数， 由，得， 所以的减区间为． 由知，，则， 则当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值． 把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数， 再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得， 则函数，令，即，即， 解得或， 要使得函数区间上至少有个零点，则满足， 所以实数的最小值为． 19.解：由，由正弦定理可得， 因为，则， 可得，即， 又因为，则，可得，即， 且，所以． 在锐角中，由得，则， 可得，解得， 可得 ， 由，得， 则，即， 所以的取值范围为． 由知，当取得最大值时，，即， 且，可知为等边三角形， 在中，令， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则， 所以， 所以 ... ...