2024-2025学年上海市向明中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市向明中学高二下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 3.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是( ) A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 4.设曲线在点处的切线为则以下说法正确的个数是( )与曲线可能没有交点；与曲线一定只有一个交点；与曲线不可能有且仅有两个交点；与曲线可能有无穷多个交点 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共12小题，共60分。 5.已知集合，，则 ． 6.已知全集，，，则 ． 7.不等式的解集为，则 ． 8.设函数的导函数为，若，则 ． 9.已知圆与圆内切，则 ． 10.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 11.若函数的导函数为，则 ． 12.双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的倍，求该双曲线的方程为 ． 13.已知集合，记，，若在上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 14.探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面其纵断面是抛物线的一部分，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为 ． 15.已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为 ． 16.已知满足方程，则的取值范围为 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知曲线． 求曲线在处的切线方程； 求的极值． 18.本小题分 已知圆，动直线过点． 当直线与圆相切时，求直线的方程 若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程． 19.本小题分 已知函数 若是函数的驻点，求实数的值； 当时，求函数的单调区间； 20.本小题分 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． 求道路的曲线方程； 现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置即确定点的坐标并写出最短距离． 21.本小题分 已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． 若，求椭圆的标准方程； 当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值； 在第小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.【详解】由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：． 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为． 18.【详解】当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为， 所以，对于另一条切线，若切点为，则，又 所以，由图知 ... ...