2024-2025 学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二下学期期中 考试数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“ = 0”是“函数 ( ) = 3 是增函数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.若圆 1: ( 1)2 + ( 2)2 = 4 与圆 : ( + )22 + ( + 1)2 = 9 外切，则实数 的值为( ) A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 5 或 3 3.如图是函数 = ( )的导函数 ′( )的图象，则下面判断正确的是( ) A. ( )在( 3,1)上是增函数 B. ( )在(1,2)上是减函数 C.当 = 2 时， ( )取得极小值 D.当 = 4 时， ( )取得极小值 4.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，点 为抛物线 的焦点，点 、 在抛物线 上( 在第一象限)，点 为点 关于原点 的对称点，且 ⊥ ，若 = ，①点 在一条定直线上；② 是定值.则( ) A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确 C.①正确，②正确 D.①不正确，②也不正确 二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。 5.抛物线 2 = 12 的准线方程是 ． 2 26.双曲线 2 3 = 1 的焦距为 ． 7.设函数 ( ) = 2 1，则lim (1+ ) (1) = ． →0 8.已知点 1,0 ， (2,0)，动点 满足 2| | = | |.则动点 的轨迹方程 ． 9.已知圆 : 2 + 2 4 = 0，点 1, 3 ，则经过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 10 : 2 2 .已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与直线 : + 3 + 2025 = 0 垂直，则 的离心率 为 ． 11.已知 为抛物线 : 2 = 2 上的动点， 为 的焦点，若点 (1,2)，则| | + | |的最小值为 ． 第 1页，共 7页 12.某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 (单位：m)与跳起后的时间 (单位：s)存在函 数关系 ( ) = 4.9 2 + 4.8 + 11， ( )的图象如图所示，已知曲线 ( )在 = 0处的切线 0平行于 轴，根据 图象，给出下列四个结论： ①在 = 0时高度 关于时间 的瞬时变化率为 0； ②曲线 ( )在 = 2附近比在 = 1附近下降得慢； ③曲线 ( )在 = 3附近比在 = 4附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 13 1.已知函数 = ( )的导函数为 = ′( )，且 ( ) = 3 3 + ′(1) 2 + 1，则 = ( )的图象在 = 3 处的 切线方程为 ． 14.设 ∈ , ( ) = 2 + + ln ，若函数 = ( )存在两个不同的极值点，则 的取值范围为 ． 15.定义两个点集 、 之间的距离集为 ( , ) = | | ∈ , ∈ ，其中| |表示两点 、 之间的距离， 已知 、 ∈ R， = ( , ) = + , ∈ R ， = ( , ) = 4 2 + 1, ∈ R ，若 ( , ) = (1, + ∞)，则 的值为 ． 2 16.已知实数 , 满足 > e2 > 1 2 2，且 ln ln = e2 ，若实数 , 使得关于 的方程 + + = 0 在区间 [1,2]上有解，则 2 + 2的最小值是 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知函数 ( ) = 3 2 + , ∈ 的图象过点(2,4)，且 ′(1) = 1． (1)求 ， 的值； (2)求函数 ( )的单调区间和极值． 18.(本小题 14 分) 第 2页，共 7页 某公司生产的某批产品的销售量 万件(生产量与销售量相等)， > 0，已知生产该批产品共需投入成本 3 + 12 2 + 36 200万元，产品的销售价格定为 180 + 元/件． (1)将该产品的利润 万元表示为销售量 万元的函数； (2)当销售量 投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 19.(本小题 14 分) 已知抛物线 : 2 = 4 ，定点 (0,1)． (1)过点 且过抛物线 的焦点 的直线，交抛物线 于 、 两点，求| |； (2)求过点 且与抛物线 有且仅有一个公共点的直线方程． 20.(本小题 14 分) : 2 已知椭圆 22 + = 1 的左、右焦点分别为 1、 2，过 2的直线 与椭圆 交于 、 两点． (1)求 的短轴长及 1 的周长； (2)若直线 过点 (2,1)，求弦长| |； (3)若直线 不平行于坐标轴，点 为点 关于 轴的对称点 ... ...
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