2024-2025 学年甘肃省兰州二中高一（下）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 45° 15° 45° 15° =( ) A. 12 B. 3 1 3 2 C. 2 D. 2 2.集合 = { |2 ≤ 4}， = { | = 1}，则 ∩ =( ) A. B. C. [1,2] D. ( ∞,1] ∪ [2, + ∞) 3.已知复数 满足 = (3 + )，其中 为虚数单位，则 的虚部是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 4.设 ， 为非零向量，则“| | = | |”是“ = ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在 如图分布形态中， ， ， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( ) A. < < B. < < C. < < D. < < 6.已知向量 = (3,4)， = (2, )， = (2, 1)，若( ) ⊥ ，则 =( ) A. 72 B. 2 C. 6 D. 9 2 7.已知 + 3 = 35，则 cos(2 + 3 ) =( ) A. 47 B. 47 41 4150 50 C. 50 D. 50 8.若 ( + ) ≤ 2 + 对任意 ∈ (0, 2 )恒成立，则 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 5 22 D. 5 2 4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( ) 第 1页，共 8页 A. + 2 + 3 + 4 = 0 B. 3 + > 1 C.若 = (1 + 2 )2，则复数 对应的点位于第四象限 D.已知复数 满足：| 2 | = 3，则 在复平面内对应的点的轨迹为圆 10 ( ) = 2 , ≤ 1 .已知函数 , > 1，则下列结论正确的是( )2 A. (0) < (3) B. ( )为增函数 C. ( )的值域为(0, + ∞) D.方程 ( ) = 最多有两个解 11.△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .下列与△ 有关的结论中正确的是( ) A.若 = 1， = 3， = 6，则满足条件的三角形有 2 个 B.若 = ，则△ 是等腰三角形 C.若△ 是锐角三角形，则 < D.若 2 + + 3 = 0， △ ， △ 分别表示△ ，△ 的面积，则 △ ： △ = 1：6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若 、 是两个不共线的向量，若 = 2 + ， = + ， = 2 + ，且 、 、 三点共线，则实 数 的值等于_____． 13 22.5° 1. 22.5 = _____． 14 .若 0 < < 2， 2 < < 0， = 3 3 ，sin( + ) = 1 3，则 = _____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，1982 年建立，1988 年批准为国家级自然保护区， 总面积 33301 公顷.是国家“ ”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、 官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目.现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景 区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分(满分 100 分)，根据评分，制成如图所示的频率 分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求 的值； (2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的 40%分位数和平均数(得数保留两位小数)． 第 2页，共 8页 16.(本小题 15 分) 设 3， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，若 = 3 ． (1)求角 ； (2)若 = 2，△ 的周长的为 6，求△ 的面积． 17.(本小题 15 分) 在边长为 2 的等边三角形 中． (1)当点 是边 上距离 较近的三等分点时，请用 和 表示 ； (2)当点 是边 上的动点，试判断： ( + )是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由． 18.(本小题 17 分) 某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：① 3 = 3 4 3 ；② 3 = 4 3 3 .根 据以上研究结论，研究以下问题． (1)在①和②中任选一个进行证明； (2)当 ≠ + 2 ( ∈ )时，尝试用 表示 3 ； (3)求值： ... ...
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