上海市杨浦区控江中学2024-2025学年高一下学期 4月月考数学试卷（图片版，含答案）

2024-2025 学年上海市杨浦区控江中学高一（下）4 月月考 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合 ， 的关系如图所示，则 ∈ 是 ∈ 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如果 < < 0，那么下列不等式中成立的是( ) A. 2 < 2 B. < C. | | > | | D. 1 1 < 3 | |, > 0,.已知 ( ) = + 1, ≤ 0.存在实数 < < ，满足 ( ) = ( ) = ( )，则 的取值范围为( ) A. ( 1,0) B. ( 1,0] C. [0,1) D. (0,1) 4.已知函数 = ( )与 = ( )满足：对任意 1， 2 ∈ ，都有| ( 1) ( 2)| ≥ | ( 1) ( 2)|． 命题 ：若 = ( )是增函数，则 = ( ) ( )不是减函数； 命题 ：若 = ( )有最大值和最小值，则 = ( )也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是( ) A. 和 都是真命题 B. 和 都是假命题 C. 是真命题， 是假命题 D. 是假命题， 是真命题 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.已知全集 = ，若集合 = { | 9 ≥ 0}，则 = _____． 6.已知 ， ∈ ，若 = 1，则 2 + 2的最小值是_____， 7.函数 = cos( 2 4 )的最小正周期为_____． 8.已知角 的终边经过点 ( 15,8)，则 = _____． 9.设常数 ∈ (0, )，若函数 = sin(2 + ) 3 的图像关于点( 4 , 0)对称，则 = _____． 10.已知常数 > 0 且 ≠ 1，如果无论 取何值，函数 = 2 的图像恒过定点 ，则 的坐标是_____． 11.已知log189 = ，18 = 5，若用 、 表示log1815，则log1815 = _____． 12.若 sin( 3 ) = 14 4 ，则 cos( + 6 ) = _____． 第 1页，共 7页 13.设常数 ∈ ，已知关于 的一元二次方程 2 + 2( 1) + 2 = 0 的两个实根分别为 、 ，若 2 + 2 = 12，则 = _____． 14.已知常数 > 0 且 ≠ 1，若函数 = 1 + log 的定义域和值域都是[1,2]，则 = _____． 15.现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上.已知三角形的一边长 4 ，另一边长 3 且第三条边上的中线长 3 ，则圆形纸片的半径长为_____ . (结果精确到 0.1) +1 16.已知常数 ∈ ，设 ( ) = 2 , ≤ 1, , > 1.若对任意 ∈ ( , + ∞)，在 中满足 ( ( )) = 的 值有且只有一2 个，则 的最小值为_____． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) ∈ 1 设常数 ，已知集合 = { | +1 ≥ 0}，集合 = { |( ) 2 < 4}． (1)求集合 ； (2)若 ∪ = ，求 的取值范围． 18.(本小题 14 分) 为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地 分隔成三部分建成花卉观赏区，如图 所示.已知扇形的半径长为 100 米，∠ 是钝角，点 在弧 上，点 在半径 上，且 ⊥ ，设∠ = ， △ 的周长为 米． (1)当 = arccos 14，求 的长(单位：米)； (2)求 的最大值及 取到最大值时 的值． 19.(本小题 14 分) ( ) = 2 + 2 , < 0, 已知 2 + 2 , ≥ 0. (1)已知 是正整数，求 ( ) + ( )的值； (2)已知常数 ∈ ( 2, + ∞)，是否存在 ，使函数 = ( )在区间[ 1,1 + ]上是严格增函数？若存在，求 出 的取值范围；若不存在，说明理由． 第 2页，共 7页 20.(本小题 14 分) 已知 ( ) = sin(2 6 )． (1)求解关于 的方程 ( ) = 1； (2) 求函数 = ( )， ∈ [ 12 , 3 ]的值域； (3) 已知常数 ∈ ，设 ( ) = cos(4 3 ) 4 ( ) = ( ) [ ，若函数 在区间 12 , 3 3 ]上的最小值是 2，求 的值． 21.(本小题 14 分) 对于定义在 上的函数 = ( )，若存在 ∈ ，使满足 < < + 1 的整数 存在且 ( ) = ( )，则称函 数 = ( )是“ 函数”． (1)两个函数 = 1， = 是否是“ 函数”？为什么？ (2)求证：函数 = sin(4 )是“ 函数”； (3)已知常数 ∈ (0,2)，若函数 = ( 2 )是“ 函数”，求 的取值范围． ... ...