2024-2025 学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量 = (2 1, 4)， = (4,4)，若 // ，则实数 =( ) A. 32 B. 2 C. 5 2 D. 2 2.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若 // ， // ，则 // B.若 ， // ，则 // C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥ 3.在△ 中，∠ = 3， = 8， = 7，则 =( ) A. 5 B. 3 或 5 C. 4 D. 2 或 4 4.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 1 1， 1， 1 1， 1的 中点，则下列结论正确的是( ) A.直线 和 平行， 和 相交 B.直线 和 平行， 和 相交 C.直线 和 相交， 和 异面 D.直线 和 异面， 和 异面 5.如图，某人为测量塔高 ，在河对岸相距 的 ， 处分别测得∠ = ，∠ = ∠ = (其中 ， 与塔底 在同一水平面内)，则塔高 =( ) A. B. sin( + ) sin( + )tan C. sin( + ) D. sin( + )sin tan sin sin 6.已知平面向量 , , | | = 2, | | = 1, 在 方向上的投影向量为 ，则| |( ∈ )取最小值时 的值为( ) A. 1 B. 14 2 C. 3 2 D. 1 7.如图，圆锥的轴截面 是正三角形， 为底面圆的圆心， 为 的中点，点 在底面圆的圆周上，且△ 是等腰直角三角形，则直线 与 所成角的余弦值为( ) A. 74 B. 2 3 C. 3 7 13314 D. 14 第 1页，共 9页 8.在梯形 中， // ， = 2， = 3，∠ = 3 4，若 ⊥ ，则 tan∠ =( ) A. 23 B. 2 2 3 C. 3 2 D. 2 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，三棱锥 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， ⊥平 面 ，∠ = 90°， = = 6， = 8，则( ) A. ， ， ， 四点共面 B.点 与点 到平面 的距离相等 C.直线 与直线 垂直 D.三棱锥 的体积为 6 10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( ) A.若sin2 < sin2 + sin2 ，则△ 是锐角三角形 B.若△ 是锐角三角形，则 > C. 若 = 4， = 3， = 3，则满足这组条件的三角形有两个 D.若 2 2 = ，则 = 2 11.如图，正方体 1 1 1 1棱长为 1， 是 1 上的一个动点，下列 结论中正确的是( ) A. 3的最小值为 2 B. 1 ⊥ C.当 在直线 1 上运动时，三棱锥 1 的体积不变 D.以点 2 6为球心， 2 为半径的球面与面 1 的交线长为 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为_____． 13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的 2 倍，则这个三角形的 周长为_____． 14.若向量 与向量 的夹角为 ，我们定义“ × ”为向量 与向量 的“外积”.两个向量的外积是一个向量， 它的长度定义为| × | = | | | | ，在△ 中，| + | = 1，| + | = 2，则| × 2 |的最大值 为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2页，共 9页 15.(本小题 12 分) 如图，在梯形 中， = 2 ，∠ = 90°， = = 2， 为线段 的中点，记 = ， = ． (1)用 ， 表示向量 ； (2)求| |的值； (3)求 与 夹角的余弦值． 16.(本小题 12 分) 如图，四棱锥 中，已知侧棱和底面边长都等于 2， 是线段 上的动点． (1)求四棱锥 的体积； (2)若 是 的中点，求证： //平面 ； (3)直线 是否与直线 互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 17.(本小题 12 分) 已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的对边，且 ( + ) = (2 )cos( + )． (1)求 ； (2)若 = 2， 为 边的中点，求 长的最大值； (3)若 = 4，求△ 面积的取值范围． 18.(本 ... ...
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