6．2.4　组　合　数 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．2.4　组　合　数 6．2.4　组　合　数(1) 1. 能利用计数原理推导组合数公式． 2. 掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简． 3. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题． 活动一 了解组合数的概念及组合数公式 组合数定义： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号C表示． 思考1 组合数公式的推导： (1) 从4个不同元素a，b，c，d中取出2个元素的组合数C是多少呢？组合数C与排列数A有什么关系呢？ (2) 推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A，可由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出 m个元素作为一组，共有C种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A种不同的排法． 根据分步乘法计数原理，有A＝C·A. (3) 组合数的公式： C＝＝ 或C＝(n，m∈N*，且m≤n). 规定：C＝1. 例1　计算： (1) C；(2) C；(3) C；(4) C. 思考2 观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现？(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 活动二　组合及组合数的简单应用　 例2　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1) 从口袋内取出3个球，共有多少种不同的取法？ (2) 从口袋内取出5个球，共有多少种不同的取法？ (3) 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种不同的取法？ (4) 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种不同的取法？ 思考3 (1) 例2的(1)和(2)中的组合数有什么关系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？ (2) 例2的(1)与(3)(4)有何联系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？ 结论：C＝C，C＝C＋C. 思考4 如何证明这两个结论？(试从实际问题模型和组合数公式两个角度给出证明) 例3　(1) 计算：C＋C＋C＋C； (2) 求证：C＝C＋2C＋C. 活动三　简单的实际问题 例4　在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1) 有多少种不同的抽法？ (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 变式　抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种？ “至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解． 按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1) 甲、乙、丙三人必须当选； (2) 甲、乙、丙三人不能当选； (3) 甲必须当选，乙、丙不能当选； (4) 甲、乙、丙三人只有1人当选； (5) 甲、乙、丙三人至多2人当选； (6) 甲、乙、丙三人至少1人当选． 1. (2024咸阳月考)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为(　　) A. 83 B. 119 C. 164 D. 219 2. 某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为(　　) A. 15 B. 20 C. 30 D. 120 3. (多选)(2024张家口期中)已知m，n∈N*，且n≥m，则下列结论中正确的是(　　) A. n！＝n(n－1)! B. 若C＝21，则n＝6 C. C＝C＋C D. C＝(n＋1)C 4. 在n件产品中，有(n－3)件合格品，3件不合格品，若从中任意抽出2件，至少有一件不合格的概率为，则n＝_____． 5. (2024台州期中)一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码． (1) 若一次取2个球，至少有1个红球的取法有多少？ (2) 若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？ 6．2.4　组　合　数(2) 1. 巩固组合的概念，组合数的公式及组合数的性质． 2. 能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析问题的能力． 活动一 巩固排列与组合的基本概念 1. 排列与组合的概念、公式及性质：(完成如下表格) 名称 排列 组合 定义 计算公式 性质 　　2. ... ...