6．3.2　二项式系数的性质 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．3.2　二项式系数的性质 1. 掌握二项式系数的性质，能用二项式的性质解决问题． 2. 能应用二项式系数的性质解决有关二项式系数的最值问题． 活动一 复习引入 1. 二项式定理及其特例： (1) (a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2) (1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 2. 二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk . 3. 求常数项、有理项时，要根据通项讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性． 活动二 探求二项式系数的性质 1. 请大家写出当n依次取0，1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数． 2. 观察二项式系数与下侧的杨辉三角，探求这两者有什么关系？ 3. 你能从中发现二项式系数有什么特点？ 二项式系数的性质： (a＋b)n展开式的二项式系数是C，C，C，…，C.C可以看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}．对于确定的n，我们还可以画出它的图象．例如，当n＝6时，其图象是7个离散点，如图所示． ①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(C＝C). 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． ②增减性与最大值 因为C＝＝C，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn， 所以令x＝1，得2n＝C＋C＋C＋…＋C. 这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. 活动三　二项式系数性质的应用———赋值法　 例1　求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1) a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a3＋a5＋a7； (3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 活动四　求二项展开式中的有关系数或二项式系数的最大项与最小项　 例3　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求在的展开式中， (1) 二项式系数最大的项； (2) 系数的绝对值最大的项． 活动五　整除性问题　 例4　用二项式定理证明：9910－1能被1 000整除． 例5　求证：32n+2－8n－9是64的倍数(n∈N*). 1. (2024滁州期末)若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x2的系数是(　　) A. 32 B. 64 C. 80 D. 160 2. (2024广州期末)在(－)n的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项为(　　) A. 160 B. 20 C. －160 D. －1 120 3. (多选)(2024南通期中)已知(1－2x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则下列说法中正确的有(　　) A. 展开式各项的二项式系数的和为2100 B. 展开式各项的系数的和为－1 C. a0＋a2＋a4＋…＋a100>a1＋a3＋a5＋…＋a99 D. a1＋2a2＋3a3＋…＋100a100<0 4. 已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则－a0＋a1－a2＋…－a6＝_____． 5. (x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1) a1＋a2＋…＋a7的值； (2) a1＋a3＋a5＋a7的值． 6．3.2　二项式系数的性质 【活动方案】 1. 当n＝0时，展开式的二项式系数C＝1； 当n＝1时，展开式的二项式系数C＝1，C＝1； 当n＝2时，展开式的二项式系数C＝1，C＝2，C＝1； 当n＝3时，展开式的二项式系数C＝1，C＝3，C＝3，C＝1； … 2. 二项式系数表的值与杨辉三角的值对应相等． 3. ①每一行中的二项式系数是对称的；②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；③每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为1，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，第n行的n数之和为2n-1. 例1　在展开式(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Cbn(n∈N*)中， ... ...