7．4.2 超几何分布 1. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值． 2. 通过对实例的分析，掌握超几何分布，并能进行简单的应用． 活动一 背景引入 问题1：已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件产品．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 问题2：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件产品，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 思考1 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品数X是否也服从二项分布？ 活动二 超几何分布 1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}, r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2. 说明： (1) 超几何分布的模型是不放回抽样； (2) 超几何分布中N是总体中的个体总数，M是次品数，n是样本容量，k是样本中的次品数． 活动三 超几何分布的应用 例1 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两所学校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，所以从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 思考2 超几何分布的求解步骤有哪些？ 例2 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同. 一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数． (1) 求获一等奖的概率； (2) 求E(X). 思考3 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数． (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 1. 已知一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是( ) A. B. C. 1－ D. 1－ 2. (2023涟水一中月考)《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为( ) A. B. C. D. 3. (多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3，则下列说法中正确的是( ) A. 随机变量X服从二项分布 B. 随机变量Y服从超几何分布 C. P(X＝k)
