第5节 数列的综合应用 [课程标准要求] 1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的 问题. 2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养. 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 [例1] (2025·江苏苏州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50, a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设{}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn. 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)同时设两个数列的基本量,利用方程思想得出基本量的关系. (2)正项等比数列通过取对数转化为等差数列是处理等比数列问题的重要思路之一,也是降低运算量的有效途径.这种转化还体现在等差数列的通项求和等问题的处理方法上,可以向等比数列迁移.同样的等差数列也可转化为等比数列,具体来说就是:数列{bn}为等差数列,则数列{}为等比数列. [针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且满足a3=10,a2,a4,a7成等比数列. (1)求{an}的前n项和 Sn; (2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 考点二 数列的新定义问题 [例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn=n2+n,试判断数列{an}是否为“H数列”,并说明理由; (2)设{an}既是等差数列又是“H数列”,且a1=6,a2∈N*,a2>6,求公差d的所有可能值; (3)设{an}是等差数列,且对任意n∈N*,Sn是{an}中的项,求证:{an}是“H数列”. 解决新定义中的数列问题的一般流程 (1)读懂定义,理解新定义数列的含义. (2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论. (3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差或等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案. (4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. [针对训练] (2025·河南襄城模拟)已知{an}和{bn}是各项均为正整数的无穷数列,若{an}和{bn}都是递增数列,且{an}中任意两个不同的项的和不是{bn}中的项,则称{an}被{bn}屏蔽.已知数列{cn}满足++…+=n(n∈N*). (1)求数列{cn}的通项公式; (2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由. 考点三 数列与函数、不等式的综合问题 角度1 数列与函数的综合问题 [例3] 设数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,且an+1=(1+)an,若2Sn+12≥kan恒成立,则k的最大值是多少 解决数列与函数综合问题的注意点 (1)将数列转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题. (2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化. 角度2 数列与不等式的综合问题 [例4] (2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列{1－}为等比数列. (2)求{an}的通项公式. (3)令bn=,证明:bn0使不等式Sn>20成立的最小整数为7,且 a1∈Z,求a1和Sn的最小值. 2.(角度2)(2025·广东广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}是公差为的等差 ... ...
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