第2节 平面向量基本定理及坐标表示 [课程标准要求] 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底. (2)当基底给定时,同一向量的分解式唯一. 2.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. (2)平面向量的坐标运算. ①平面向量线性运算的坐标表示. 假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1) (λ∈R),ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)(u,v∈R). ②向量模的坐标计算公式. 如果向量a=(x,y),则|a|=. ③向量坐标的求法. a.若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. b.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2－x1,y2－y1),||=. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b (3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是x1y2－x2y1=0. (1)a∥b的充要条件不能表示为=,因为x2,y2有可能为0. (2)当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.中线向量定理. 如图所示,在△ABC中,若点D是边BC的中点,则中线向量=(+),反之亦正确. 3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为(,),△ABC的重心坐标为(,). 1.(2025·广西梧州模拟)如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为( ) [A] (,) [B] (,) [C] (,) [D] (,) 2.(苏教版必修第二册P28练习T2改编)已知向量e1,e2不共线,则下列向量不可以作为一组基底的是( ) [A] e1+e2和e1－e2 [B] 4e1－2e2和6e1－3e2 [C] 2e1－e2和e2 [D] e1－e2和2e2+e1 3.(人教A版必修第二册P32例9改编)已知A(2,3),B(4,－3),点P在线段BA的延长线上,且2BP=3AP,则点P的坐标是 . 4.(苏教版必修第二册P40习题9.3(4) T1改编)已知向量a=(3,4),b=(2,k),且(a+b)∥a,则实数k= . 5.已知在平行四边形ABCD中,=,若=λ+μ,则λ－μ= . 考点一 平面向量基本定理及其应用 [例1] 在△ABC中,点M是AB的中点,点N分AC的比为AN∶NC=1∶2,BN与CM相交于点E,设=a,=b,则向量等于( ) [A] a+b [B] a+b [C] a+b [D] a+b (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. [针对训练] (2025·陕西汉中模拟)如图,在平行四边形ABCD中,=,=,则等于( ) [A] [B] [C] + [D] + 考点二 平面向量的坐标运算 [例2] (2025·江苏南京模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为 . 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算. [针对训练] (2025·北京模拟)已知向量a ... ...
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