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课件网) 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 预 学 案 一、复数的有关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做_____，其中i叫做_____，满足i2＝_____. 2．复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_____． 3．复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的_____． 复数 虚数单位 －1 复数集 实部 虚部 练习 1－i的实部等于_____，虚部等于_____． 1 －1 解析：1－i的实部为1，虚部为－1. 二、复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当_____． a＝c且b＝d 练习 若复数3＋4i＝3＋bi，i为虚数单位，则b＝( ) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：C 解析：因为3＋4i＝3＋bi，所以b＝4.故选C. 三、复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 实数 虚数 a＝0 a≠0 练习 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( ) (2)复数i的实部不存在，虚部为0.( ) (3)bi是纯虚数．( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) × × × √ 2．在下列数中，属于虚数的是_____，属于纯虚数的是_____． 0，1＋i，πi，＋2i，i，i. 1＋i，πi，＋2i，i，i πi，i 解析：根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数． 微点拨 (1)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (2)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (3)复数a＋bi的实部、虚部不一定是a、b，只有当a∈R，b∈R时，a、b才是该复数的实部、虚部． 微点拨 (1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分离实部和虚部． (2)只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di. (3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0. 微点拨 (1)两个虚数不能比较大小． (2)a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件． 共 学 案 【学习目标】 (1)了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． (2)理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． (3)掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 题型 1 复数的概念 【问题探究1】 (1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ (2)添加i之后，我们知道i2＝－1，i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？ 提示：(1)没有解；有解x＝±i. (2)若i与实数b相乘再与实数a相加，可得到形式为a＋bi的新数． 例1 已知复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是( ) A．2，－4 B．2，5 C．－2，4 D．－2，5 答案：D 解析：x，y∈R，复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，因此解得x＝－2，y＝5，所以实数x和y的值分别是－2，5.故选D. 笔记 若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. 训练1 设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3 答案：A 解析：∵复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，∴3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.故选A. 题型 2 复数的分类 【问题探究2】 (1)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ (2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C 提示：(1)b＝0. (2)R?C. 例2 实数 ... ...
