1.3空间向量及其运算的坐标表示（含解析） 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 夯基础 题型1空间向量的坐标表示 1.已知点A(-2,3,4),则点 A 关于原点的对称点的坐标为 ( ) A.(2,3,4) B.(-2,-3,4) C.(-2,3,-4) D.(2,-3,-4) 2.已知空间向量a=(1，2，-3)，则向量a在坐标平面 Oyz上的投影向量是( ) A.(0,2,3) B.(0,2,-3) C.(1,2,0) D.(1,2,-3) 3.如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为6，点M为CC 的中点,点 P 为底面A B C D 上的动点,满足 BP⊥AM 的点 P 的轨迹长度为 ( ) A.2 B.3 C.6 题型2空间向量运算的坐标表示 4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c= ( ) A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1) C.(9,3,0) D.(9,0,0) 5.已知点 O 为原点， 点Q在直线OP上，那么当 取得最小值时，点Q的坐标是 ( ) 6.[2023·云南昆明艺卓中学高二月考]已知点A(2，0,1),点B(10,4,13).若点C 满足 则点C 的坐标为 . 题型3利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 7.(多选)在△ABC中,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(2,-3,1).若△ABC为直角三角形,则k的值为( ) A. B. C.-1 8.已知向量a=(2,1,3),向量b=(4,m,6).若a∥b,则实数m的值为 . 9.设x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= . 10.已知点 O为原点,向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB 上，存在一点 E，使得 则点 E 的坐标为 . 11.如图，在直三棱柱ABC-A B C 中, CA = CB = 1,∠BCA=90°,棱AA =2,M,N分别为A B ,A A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题. (1)求 的模. (2)求证:BN⊥平面 C MN. 题型4利用空间向量的坐标运算求向量的夹4角和模 12.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为 ( ) B. C. D. 13.已知a=(cosα,-1,sinα),b=(sinα,-1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角为( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 14.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1).若 则 15.棱长为2的正方体中,E,F分别是DD ,DB的中点,点 G在棱 CD 上,且 H 是 C G的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题. (1)求证:EF⊥B C. (2)求 (3)求 FH 的长. 16.如图，在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD 为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2 (1)若点 F 为DC 的中点,求 (2)若点 E 为 PB 的中点,点 M 为AB 上一点,当 时，求 的值. 17.若a=(1,1,1)与b=(x,2,2)的夹角为锐角,则实数x的取值范围是 . 1.3空间向量及其运算的坐标表示 选择/填空题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B C C (6,2,7) 题号 8 9 10 12 13 答案 BD 2 3 D A 题号 14 17 答案 (-4,2)∪ (2,+∞) 夯基础 1. D 【解析】因为点A(-2,3,4),所以点A 关于原点的对称点的坐标为(2,-3,-4).故选D. 2. B【解析】根据空间中点的坐标的确定方法知，空间向量a=(1，2，-3)在坐标平面 Oyz上的投影坐标中，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变，所以空间向量a=(1，2，-3)在坐标平面 Oyz上的投影向量是(0,2,-3).故选 B. 3. B 【解析】如图,取A D 的中点E,A B 的中点 F,连接 EF.以 D为原点,分别以 DA,DC,DD 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,则A(6,0,0),B(6,6,0),M(0,6,3).设P(x,y,6),x∈[0,6],y∈[0,6],.则 由BP⊥AM,得-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0,,即y=x-3.因为x∈[0,6],y∈[0,6],所以x∈[3,6],y∈[0,3].所以点 P 的轨迹为平面A B C D 上的直线y=x-3,x∈[3,6],即图中的线段 EF.易知 所以点 P 的轨迹长度为3 .故选 B. 4. C 【解析】a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+2(3,1,0)=(9,3,0).故选 C. 5. C 【解析】设Q(x,y,z).由点Q 在直线OP 上,可得存在实数λ使得 即(x,y,z)=λ(1,1,2),则Q(λ,λ,2λ),所以 2λ),则QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)· 根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最小值为 此时 故选 C. (6，2，7)思维路径设出点C ... ...