1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 夯基础 题型1 空间向量及相关概念 1.下列命题为真命题的是 ( ) A.向量 AB与 BA的长度相等 B.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体ABCD-A?B?C?D?中，必有 AC=A1C1; ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确命题的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4658360167640题型2空间向量的线性运算 3.如图，在平行六面体ABCD-A?B?C?D?中, AB?AD?AA1=( ) A.AC1 B.A1C C.D1B D.DB1 4.在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与 AB相等的是( ) A.AC+CD B.AD+DC+CB C.CA?CB D.CB+DA?DC 5.如图,在四面体OABC 中, OA= a,OB=b,OC=c,点M在OA上,点 N 在 BC 上,且OM=2MA,BN=2NC,则 MN= ( ) 3757295273685 A.?23a+13b+23c B.23a?23b+13c C.?23a?13b+23c D.23a?23b?13c 6.如图,在空间四边形ABCD中,已知G为△BCD 的重心,E,F,H分别为边 CD,AD 和BC 的中点,化简下列各式： 1AG+13BE?12AC; 212AB+AC?AD; 313AB+13AC+13AD. 题型3空间向量共线的判定及应用 5778500-127007.如图,在 长 方体 ABCD-A?B?C?D?中,AB=AD=4, AA1=3,点 E，F分别在棱BB?,B?C?上， EF→‖AD1→,BE→=13BB1→,则 ∣B1F∣=( ) A.1 B.43 C.2 D.83 8.对于空间任意一点O，以下条件可以判定点 P，A，B共线的是 (填序号). ①OP=OA+tABt∈R,t≠0; ②5OP=OA+AB; ③OP=OA?tABt∈?t≠0; ④OP=?OA+AB. 9.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,E在 A?D?上，且 A1E=2ED1,F在对角线A?C上，且 A1F=23. FC.设 AB=a,AD=b,AA1=c. (1)用a,b,c表示 EB. (2)求证:E,F,B 三点共线. 题型 4 空间向量共面的判定及应用 10.(多选)下列四个命题，其中为真命题的是 ( ) A.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使得p=xa+ yb B.若存在实数x，y，使得p= xa+ yb,则p与a,b共面 C.若存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,则点P,M,A,B 共面 D.若点 P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使得 MP=xMA+yMB 11.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,M,N分别是棱 BB?,DD?的中点,P是棱A?B?上靠近A?的四等分点，过NM,N,P三点的平面α交棱BC 于点 Q，设 BQ=λBC,则λ= 253365393065 12.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点，用共面向量定理证明M，N，P，Q四点共面. 易错点1 忽略零向量的定义而致错概念模糊 13.下列命题正确的是 ( ) A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb 易错点2 对空间向量的概念理解不到位而致错 14.如图，已知正方体ABCD-A?B?C?D?的中心为O,则有下列结论： ①OA+OD与 OA1+OD1是一对相反向量；5892800-228600 ②OB?OC1与 OC?OB1是一对相反向量； 61658529210与 OD+OC+OB+OA是一对相反向量； ④OC?OA与是一对相反向量. 其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.1.1空间向量及其线性运算 选择/填空题答案速查 题号 1 2 3 4 5 7 答案 A C C B A D 题号 8 10 11 13 14 答案 ①③ BC 34 C A 夯基础 1. A 【解析】对于A,向量. AB与 BA是相反向量，所以向量 AB与BA的长度相等，故A正确；对于B，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故B错误；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，互为相反向量的两个向量不相等，但这两个相反向量的模相等，故D 错误.选A. 2. C【解析】对于①，当表示两个空间向量的有向线段的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等 ... ...