1.1.2空间向量的数量积运算 夯基础 题型1 空间向量的数量积的概念及其运算 1.已知四面体A-BCD 的所有棱长都等于2，E 是棱AB的中点，F是棱CD 上靠近点C 的四等分点，则 等于 ( ) B. D. 2.已知|a|=4，空间向量e为单位向量， 则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为 ( ) A.2 B.-2 D. 3.设a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有 ( ) 题型 2 利用空间向量的数量积求夹角 4.空间四边形OABC 中, OB = OC, ∠AOB = ∠AOC =π/3,则 的值是 ( ) A. D.0 5.已知a，b都是空间向量，且 则<2a,-3b>= ( ) A. B. C. 6.在正三棱柱ABC-A B C 中， 则异面直线 BA 与AC 所成角的余弦值为 . 题型 3 利用空间向量的数量积求长度 7.已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于( ) A. D.4 8.四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD 是边长为1的菱形，侧棱长为 2，且 ∠BCD=60°,则线段A C 的长度是 ( ) A. C.3 9.如图，二面角α-l-β为60°,A,B 是棱l上的两点，AC，BD 分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=2,BD=4,则CD 的长为 . 题型4 利用空间向量的数量积解决垂直问题 10.在棱长为1 的正方体ABCD-A B C D 中，设 则a·(b+c)的值为( ) A.2 B.1 C.-1 D.0 11.如图,三棱柱 ABC-A B C 的所有棱长都相等， 点 M 为△ABC 的重心,AM 的延长线交 BC 于点 N,连接 A M,设 (1)用a,b,c 表示 (2)证明:A M⊥AB. 易错点 忽视空间向量的数量积与实数的积的区别而致错 12.对于任意空间向量a，b，c，下列命题正确的是 ( ) A.若a·b=0,则a与b中至少有一个为0 B.若a⊥b,则a·b=0 C.(a·b)c-(c·a)b=0 D.若a·b=0,则a⊥b 13.如图，在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2,且 PA 与AB,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则 ( ) A. 14.在四面体 OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC 的重心,则 15.已知点 P 为棱长等于 4 的正方体 ABCD-A B C D 内部一动点,且 则 的值达到最小时， 与 夹角的余弦值为 . 16.如图,在矩形 ABCD 和 ABEF 中,AB=4,AD= 记 (1)求异面直线AE 与BD 所成角的余弦值. (2)将 用a，b，c表示出来，并求 的最小值. (3)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ 的值；若不存在，请说明理由. 17.设两个向量e ，e 满足 e ,e 的夹角为60°.若向量 与 的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2(如图),P,Q 分别为棱AB,AD的中点,则 题号 1 2 3. 4 5 6 答案 D B AD D A 题号 7 8 9 10 12 13 答案 C D 4 D B A 题号 14 15 18 答案 143 0 1 夯基础 1. D 【解析】因为E 是棱AB的中点,F是棱 CD上靠近点 C的四等分点，所以 所以 因为 所以 故选 D. 2. B【解析】由题意可知 所以空间向量 a 在向量 e 方向上的投影的数量为 故选 B. 3. AD 【解析】对于A, 故 A正确；对于 B，因为向量不能做除法，即-b/a无意义，故B 错误(正确理解空间向量的数量积的概念是正确判断的前提)；对于C， b〉，故C错误；对于D ,故 D 正确.选 AD. 4. D 【解析】因为OB=OC,所以 破题关键：利用空间向量的加、减运算分拆 为 所以 故选 D. 5. A 【解析】∵ 故选 A. 方法总结求 空间两个向量的夹角的步骤 第一步，计算这两个空间向量的数量积； 第二步，利用向量模的计算公式计算这两个空间向量的模长； 第三步，利用空间向量的夹角公式 进行计算. 【解析】如图，设 则 .由正三棱柱可得 且 又 所以 故 7. C 【解析】 故选 C. 8. D 【解析】因为 (根据向量运算法则表示出 ... ...
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