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课件网) 知识点 用二次函数解决实际问题 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象和性质解决问题 . 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论 . 要点解读 1. 用二次函数解决实际问题时，审题是关键 . 检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义 . 2. 在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数表达式，用配方法把函数表达式化为y=a(x+h)2+k 的形式求函数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数的最值 . 例 1 [ 中考·德州 ] 某公司分别在 A， B 两城生产同种产品，共 100 件． A 城生产产品的成本 y (万元)与产品数量 x (件)之间具有函数关系 y ＝ x2+20x+100， B 城生产产品的每件成本为 60 万元． (1)当 A 城生产多少件产品时， A， B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ 解题秘方：要理清题中的基本数量关系：生产这批产品成本的和 W(万元)等于 A 城生产这批产品的成本加上B 城生产这批产品的成本，由此可列出 W 关于 x 的二次函数表达式，再将其改写成顶点式，从而根据二次函数的性质得出答案； 解： 设 A， B 两城生产这批产品成本的和为 W(万元)，则 W=x2+20x+100+60(100 － x) =x2 －40x+6 100=( x－20) 2+5 700，∴当 x=20 时， W 取得最小值，最小值为 5 700，∴ A 城生产 20 件产品时， A， B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是 5 700 万元； (2)从 A 城把该产品运往 C， D 两地的费用分别 为 1 万元 / 件和 3 万元 / 件；从 B 城把该产品运往 C， D 两地的费用分别为 1 万元 / 件和 2 万元 / 件． C 地需要 90 件， D 地需要 10 件，在(1)的条件下，怎样调运可使 A， B 两城运费的和最小？ 解题秘方：设从 A 城把该产品运往 C 地的产品数量为 n 件，分别用含 n 的式子表示运往其余各地的产品数量，列不等式组求得 n 的取值范围，然后用含 n 的式子表示出 A， B 两城总运费之和 P，再根据一次函数的性质得出答案． 解：设从 A 城把该产品运往 C 地的产品数量为 n 件，则从 A 城把该产品运往 D 地的产品数量为(20－n)件；从 B 城把该产品运往 C 地的产品数量为(90－n)件；从 B 城把该产品运往 D 地的产品数量为(10－20+n)件，运费的和为 P (万元) ， ∴从 A 城把该产品运往 C 地的产品数量为 20 件，运往D 地的产品数量为 0 件；从 B 城把该产品运往 C 地的产品数量为 70 件，运往 D 地的产品数量为 10 件时，可使 A， B 两城运费的和最小 . 特别提醒 1. 要按照用二次函数解实际问题的步骤解答 . 2. 列函数表达式时，要找到能包含全部题意的等量关系，并且要考虑自变量的取值范围 . 3. 求函数的最值时，既可以化为顶点式求，也可以根据顶点坐标公式求 . 4. 写答案时，要特别注意函数的最值是否是实际问题的最值 . 顶点的横坐标在实际问题的自变量的取值范围内，则函数的最值是实际问题的最值，否则就不是 . 二次函数的应用 建立二次函数模型 实物外观 似二次函 数图象 运动路线 似二次函 数图象 两个变量之间 的关系是二次 函数关系 ... ...
