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课件网) 知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系 1 1. 二次函数图象与 x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，交点的横坐标是 x0，那么当 x=x0时，函数值是 0，因此 x=x0 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 . 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程 ax2+bx+c=0 与二次函数y=ax2+bx+c 之间的内在联系列表如下： b2－4ac 的符号 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 有两个不等实根 x1= x2= 没有实根 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 a>0 a<0 抛物线与 x 轴的交点 ( x1，0)，( x2，0) 没有 交点 拓宽视野 1. 已 知 二 次 函数 y=ax2+bx+c， 求当 y=m 时自变量 x 的值， 可 以 解 一 元 二次 方 程 ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程 ax2+bx+c=m 可 以 看成 是 已 知y=ax2+bx+c的函数值 y=m，求自变 量 x 的 值 . 方 程ax2+bx+c=m 的解是抛物线 y=ax2+bx+c 与 直 线y=m 的交点的横坐标 . 2. 二 次 函 数y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系密切，二者可以相互转化 . 例 1 [ 中考·乐山 ] 已知关于 x 的一元二次方程 x2+x-m=0． (1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； 解题秘方：由 Δ 即可列不等式得到答案； (2)二次函数 y=x2+x－m 的部分图象如图21.3-1 所示，求一元二次方程 x2+x－m=0 的解． 解题秘方：根据抛物线的对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点，即可得到答案． 知识点 二次函数图象法求解一元二次方程 2 利 用 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 求 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0 的解 (1)作出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与 x 轴的交点的横坐标； (2)函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解； (3)当函数图象与 x 轴的交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解 . 方法提醒 估计一元二次方程的解的方法： 在难以读出交点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解 . 2. 利用二次函数 y=ax2 的图象与直线 y= － bx － c 的交点求方程 ax2+bx+c=0的解 (1)将一元二次方程 ax2+bx+c=0 化为 ax2= － bx － c 的形式； (2)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 抛 物 线 y=ax2 和 直 线 y=-bx-c，并确定抛物线与直线的交点的横坐标； (3)交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 . 例2 利用二次函数的图象求一元二次方程 －x2+2x－3=－8的近似解(结果精确到 0.1) . 解题秘方：画出二次函数 y=－x2+2x+5 的图象， 利用二次函数的图象求方程的近似解 . 解题通法 用图象法求一元二次方程的近似解： 用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数的图象，确定其图象与 x 轴交点的横坐标的大致范围，即一元二次方程的解的大致范围； 然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解 . 解：整理方程，得 －x2+2x+5=0. 作函数 y=－x2+2x+5 的图象如图 21.3-2 所示 . 由图象可知，抛物线与 x 轴交点的横坐标分别在 －2 和 －1，3 和 4 之间，即方程 －x2+2x－3=－8 的两个实数解分别在－2 和 －1，3 和 4 之间，用取平均数 的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程 的近似解 . 由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y<0， 取 3 和 4 的平均数 3.5，当 x=3.5 时， y=－0.25， 与 x=3时的函数值异号，所以方程的这个解在 3 和 3.5 之间 . 取 3 和 3.5 的平均数 3.25，当 x=3.25 时， y=0.937 5，与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.25 和 3.5 之间 ... ...
