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课件网) 三次函数的图象与性质 教材版本：普通高中数学人教A版 授课教师： 学校： 形如 的函数叫做三次函数. 三次函数的概念： 探究：初识系数 a, b, c, d 的变化将怎样影响三次函数的图像与性质 ①类比二次函数你能猜想哪个系数对函数的单调性没有影响？ ②观察系数a变化时函数图象有何特征？ ③当系数a >0时，系数b和c分别变化时，图象有 何特征？ 思考： 利用信息技术工具画出三次函数 的图象，改变 a, b, c, d 的值，观察图象的形状并思考以下问题. 借助工具、尝试探究 图象 问题：你能归纳出三次函数的大致形状吗？描述它的图象有什么特点？ 借助工具、尝试探究 我们通过数学软件观察了三次函数的图象，下面我们再用导数研究它的单调区间，若存在极值并求出相应的极值点. 设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则 f ′ (x) =3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形： 情形1 函数f ′ (x)没有零点，f ′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． （1）若a > 0，则f ′ (x)恒为正， f (x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则 f ′ (x)恒为负， f (x)在(－∞，＋∞)上递减． 三次函数的单调性与极值： 设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 可能有以下三种情形： 情形2 函数f ′ (x)有一个零点x = w，如图． （1）若a > 0，则f ′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正， f (x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则f ′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负， f (x)在(－∞，＋∞)上递减． 三次函数的单调性与极值： 情形3 函数f ′ (x)有两个零点x1和x2，如图． （1）若a > 0，则f ′ (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)为正，在(x1，x2)为负， 对应地， f (x) 在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增． 由此可见f (x)在x = x1 处取得极大值，在x = x2 处取得极小值． 情形3 函数f ′ (x)有两个零点x = x1和x = x2，如图． （2）若a < 0，则f ′ (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)为负，在(x1，x2)为正， 对应地， f (x)在(－∞，x1)上递减，在(x1，x2)上递增，在(x2，＋∞)上递减． 由此可见f (x)在x = x1处取得极小值，在x = x2处取得极大值． 归 纳 总 结 三次函数的图象与性质 三次函数的单调性与极值： 设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． f ′ (x)的判别式为 ． f ′ (x)的图像 f (x)的图像 f (x)的单调性 f (x)的极值 a>0 ≤0 在(－∞，＋∞)上递增 无极值 >0 在(－∞，x1)上递增，在( x1 ， x2 )上递减， 在(x2，＋∞)上递增 极大值 f (x1) 极小值f (x2) 三次函数的单调性与极值： 设f (x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则f ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． f ′ (x)的判别式为 ． f ′ (x)的图像 f (x)的图像 f (x)的单调性 f (x)的极值 a<0 ≤0 在(－∞，＋∞)上递减 无极值 >0 在(－∞，x1)上递减，在(x1，x2)上递增， 在(x2，＋∞)上递减 极大值f (x2) 极小值f (x1) 谢谢！ ... ...
