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课件网) 温故知新： 1.分类变量： 用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示，例如，学生所在的班级可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等． 2.列联表： 将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y＝0) 乙(Y＝1) 合计 A(X＝0) a b a＋b B(X＝1) c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 8.3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验 前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0，1}的成对分类变量，则判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联，主要是看以下假定关系是否成立. 1.零假设或原假设： 在这里我们通常把H0称为零假设或原假设. 其中P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选一个样本点，该样本点属于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选一个样本点，该样本点属于{X=1，Y=1}的概率. 由条件概率的定义可知，零假设H0等价于 零假设或原假设： 由于{X=0}和{X=1}为对立事件，故有 由此，零假设H0等价于{X=1}和{Y=1}独立. 由于下列四条性质彼此等价： {X=0}和{Y=0}独立；{X=0}和{Y=1}独立； {X=1}和{Y=0}独立；{X=1}和{Y=1}独立. 如果这些性质成立，我们就称分类变量X和Y独立. 这相当于下面四个等式成立： ② 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为 H0：分类变量X和Y独立. 思考：如何基于②中的四个等式及下列2×2列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则事件{X=0，Y=0}发生的频数的期望值(或预期值)为 所以如果零假设H0成立，下面四个量的取值都不应该太大： 反之，当这些量的取值较大时，就可以推断H0不成立. 显然，分别考虑上面四个差的绝对值很困难，我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断H0是否成立. 一般来说，若频数的期望值较大，则差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则相应的差的绝对值也会较小. 为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量： 该表达式可化简为： 上述表达式是χ2的计算公式，χ2读作“卡方”. X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 注：n=a＋b＋c＋d 随机变量χ2取值的大小可作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立.那么，究竟χ2大到什么程度，可以推断H0不成立呢 或者说，怎样确定判断χ2大小的标准呢 小概率值α的临界值： 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2 ≥xα)=α成立. 我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大. 由P(χ2 ≥xα)=α可知，只要把概率值α取得充分小，在假设H0成立的情况下，事件{χ2 ≥xα}是不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断H0不成立. χ2计算公式： 注：n=a＋b＋c＋d 基于小概率值α的检验规则是: 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2< ... ...
