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课件网) 第一章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.会用五点法画正弦函数的图象. 2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围. 3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质. 4.会求正弦函数的定义域、值域、最值. 5.会求正弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小. 6.会判断有关函数的奇偶性. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 正弦函数的图象 1.正弦函数图象的作法 (1)几何法:借助单位圆获得对应的正弦函数值. (2)五点法:根据正弦曲线的基本性质,描出 , , , , 这五个关键点,然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到正弦函数的简图. (0,0) (π,0) (2π,0) 2.正弦函数的图象 正弦函数y=sin x,x∈R的图象称作正弦曲线,如图所示. 名师点睛 “五点法”中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法. 思考辨析 为什么把正弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变 提示 由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z可得. 自主诊断 [人教A版教材例题]画出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象. 解 按五个关键点列表 描点并将它们用光滑的曲线连接起来, 如图所示. 知识点二 正弦函数y=sin x的性质 函数 y=sin x 定义域 R 可写作(-∞,+∞) 值域 奇偶性 函数 单调性 在区间 上都单调递增; 在区间 上都单调递减 周期性 最小正周期是 [-1,1] 奇 2π 最值 当 时,y取最大值1; 当 时,y取最小值-1 对称轴 x= +kπ,k∈Z 对称中心 (kπ,0),k∈Z 对称中心是一个点,不是横坐标 名师点睛 1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. 2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z,即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴是直线x=kπ+ ,k∈Z,对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值. 3.判断与正弦函数有关的函数奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数. 思考辨析 “正弦函数在第一象限单调递增”,这一说法对吗 提示 错误.因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个,所以不能看作一个单调区间. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=|sin x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.( ) (2)对于函数y=msin x+n(m≠0),当且仅当sin x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin x=-1时,取最小值ymin=-m+n.( ) (3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.( ) (4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的一个周期.( ) 2.[人教B版教材例题]已知sin x=t-3,x∈R,求t的取值范围. × × √ × 解 因为-1≤sin x≤1,所以-1≤t-3≤1, 由此解得2≤t≤4. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 用五点法作正弦函数图象 【例1】 利用“五点法”画出函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象. 解 列表: 描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示. 规律方法 用五点法画函数y=Asin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤 (1)列表: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个 ... ...
