7.3.1复数的三角表示式 教案

第七章 复数 7.3.1复数的三角表示式 1.知道复数的三角表示式的含义; 2.了解复数的代数式与三角表示式之间的关系，会进行复数三角形式与代数形式之间的转化; 3.了解两个用三角形式表示的复数相等的条件; 4.培养转化、逻辑推理及数学运算能力 重点：复数三角表示以及三角表示式与代数表示式之间的转化 难点：复数的三角表示式的理解 （一）创设情境 回顾： 复数的几何意义 借助复数的几何意义， 复数能不能用其他形式来表示呢？ 设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备.为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础. （二）探究新知 任务1：探索复数的三角表示式 探究：如图，复数与向量一一对应，复数z由向量的坐标(a,b)唯一确定． 我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向． 思考：你能用向量的模和角来表示复数z吗？ 记向量的模,如图可知 所以， 其中 师生活动：的大小可以由复数的模来表示，的方向用哪个量来表示？向量的方向可以选择坐标轴为“基准”，联系三角函数中的象限角的概念，所在的射线（射线OZ）为终边的角来刻画平面向量的方向. 设计意图：借助复数的几何意义，通过数形结合，联系象限角概念，引导学生尝试刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角形式作铺垫. 思考：刚才我们画的图角的终边落在第一象限，那么当角的终边落在第二，三，四象限或者落在在实轴、虚轴上这个式子也成立吗？ 师生活动：教师利用几何画板，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有. 设计意图：引导学生思考问题要全面，培养学生全面思考的能力以及严谨的逻辑推理能力，培养学生抽象概括的能力. 复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角. 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 说明： 1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 例如，复数i的辐角是，其中k可以取任何整数． 2.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的． 3.在范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即. 例如，. 师生活动：教师PPT展示题目让学生回答，加强对辐角的主值的理解. 设计意图：让学生利用终边相同的角的特点得出复数辐角的多值性，并通过建立辐角主值区间的必要性和以为主值区间的合理性的讨论，使学生获得基础知识的同时，领悟其中的数学思想和方法. 思考：复数三角形式的结构特点有哪些？ ①r是复数的模，； ②式中的三角函数是同一个辐角值θ的余弦和正弦； ③cosθ在前，sinθ在后； ④cosθ和sinθ之间用“+”连接. 设计意图：通过提出问题，明确复数的三角形式及相关概念. 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化． 思考：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 师生活动：引导学生利用类比方法思考、回答.可以引导学生按照下面的思路进行探究： 两个复数相等 两个复数对应的向量相同 两个向量的长度相等且方向相同 两个复数的模相等且辐角主值相等，通过推理，顺理成章地得出结论. 设计意图:让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性. 两个复数相等 两个复 ... ...