7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 教案

第七章 复数 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1.了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义; 2.会用三角形式进行复数乘、除运算; 3.复数三角形式的乘、除运算的几何意义的运用； 4.在知识的探究过程和发现中,感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养. 重点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 难点：对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解 （一）创设情境 回顾： 复数的两种形式 代数形式 三角形式 z=a+bi z=r(cosθ+isinθ) 实部a 虚部b 辐角θ 辐角主值 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行转化 思考：前面，我们学习了复数代数形式的乘、除运算与复数的三角表示，你能根据所学知识研究复数的乘、除运算及其几何意义吗？ 设计意图：激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫. （二）探究新知 任务1：探索复数乘法运算的三角表示及其几何意义 思考：如果把复数分别写成三角形式，你能计算并将结果表示成三角形式吗？ 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 即 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 简记：模数相乘，辐角相加 师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 教师板书复数乘法三角形式公式. 设计意图：教师引导，学生思考，联系三角函数知识，经历复数乘法运算三角表示的形成过程，培养学生数学运算和逻辑推理的核心素养. 通过复数乘法运算三角表示的文字表述，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示的理解.同时对复数三角形式的乘法法则进行推广，拓宽学生视野，培养学生逻辑推理能力. 探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数相乘时，可以像图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． 师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助信息工具画出图像，师生一起归纳出复数乘法运算三角表示的几何意义. 设计意图：让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法运算三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时培养学生自主学习能力和合作意识. 思考：你能解释和的几何意义吗？ 可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到对应的向量. 可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到1对应的向量. 设计意图：进一步加深对复数乘法运算的几何意义的理解. 任务2：探索复数除法运算的三角表示及其几何意义 探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？ 设且，因为 所以根据复数除法的定义，有 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 简记：模数相除，辐角相减 师生活动：师生充分自主探究讨论后得出复数除法能表示成三角形式. 教师板书复数除法三角形式公式，文字表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数辐角所得的差. 设计意图：在复数乘法的基础上，引导学生借助已有的知识和运算技巧推导复数除法的三角表示，体会转化与化归和类比的数学思想，提升数学运算素养. 探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 两个复数相除时，可以像图那样，先分别画出与对 ... ...