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课件网) 第1章 2.2 第1课时 等差数列前n项和的推导及初步应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.探索并掌握等差数列前n项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题. 3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 等差数列的前n项和 1.数列前n项和的定义 对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 注意等式两端角标“n”的一致性 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.( ) (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.( ) √ × 知识点2 等差数列的前n项和公式 名师点睛 1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一. 2.公式 表明等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 3.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 .用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn= (ak+an-k+1). 4.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式 思考辨析 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了此等差数列前100项的和.如果是求1+2+3+…+n(n∈N+),不知道共有奇数项还是偶数项怎么办 提示 我们可以采用倒序相加法来回避这个问题: 设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n, 又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1), ∴2Sn=n(n+1), ∴Sn= (n∈N+). 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.( ) (2)1+2+3+…+100 .( ) (3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.( ) √ √ √ 2.[人教B版教材例题]已知等差数列{an}的公差为2,且a20=29,求这个等差数列前20项的和S20. 解 由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2, 知识点3 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有 注意角标中n的取值限制 名师点睛 1.这一关系对任何数列都适用. 2.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式. 思考辨析 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,则数列{an}是等差数列吗 提示 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;n=1时适合上式,所以数列{an}是等差数列,公差为2. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则对于任意的n∈N+,an=Sn-Sn-1.( ) (2)在数列{an}中,a5=S5-S4.( ) × √ 2.若Sn=n2-3n+1,求数列{an}的通项公式. 解 ∵Sn=n2-3n+1,∴当n=1时,a1=S1=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1]=n2-3n+1-(n2-5n+5)=2n-4. 经检验,当n=1时,an=2n-4不成立, 重难探究·能力素养速提升 探究点一 等差数列前n项和公式的基本运算 【例1】 在等差数列{an}中: (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 变式训练1(1) 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若4S1=3S2+S4,a5=5,则a10=( ) A.3 B.7 C.11 D.15 D (2) 已知在等差数列{an}中,a1=2,a7=4 ... ...
