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课件网) 第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用. 2.掌握等差数列前n项和的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 等差数列前n项和的函数特征 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 令A= ,B=a1- ,则Sn=An2+Bn. ①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常数函数,{an}是各项为0的常数列. ②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列. ③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 受n的取值的限制,画出的图象为平面直角坐标系内的一串点 名师点睛 1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形: 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观. 3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 思考辨析 1.若数列{an}的通项公式an=2n-37(n∈N+),则当n为何值时Sn取得最小值 2.等差数列的前n项和Sn取得最大或最小值时的n唯一吗 提示 由通项公式易知,a1,a2,…,a18都小于0, 所以当n=18时Sn取得最小值. 提示 不一定. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( ) (2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.( ) (3)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n= 取得.( ) (4)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.( ) × √ √ × 2.[人教B版教材习题]等差数列14,11,8,…前多少项的和最大 为什么 解 前5项和最大,因为前5项均是正数,从第6项开始为负数;也可以用二次函数的最值解决. 知识点2 等差数列{an}的前n项和Sn的性质 1.若{an}是等差数列,则 也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}的公差的 . 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质: an是中间项 思考辨析 1.若{an}是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列 如果是,公差是多少 提示 (a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d. ∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列. 2.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,前2n项和为S2n,前3n项和为S3n,试探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n之间的关系. 提示 S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd) =2Sn+n2d, 同样发现S3n=3Sn+3n2d,可以发现S2n-Sn=Sn+n2d,S3n-S2n=Sn+2n2d,…,是一个公差为n2d的等差数列. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若等差数列{an}的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.( ) (2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差数列.( ) √ √ 2.已知一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为 . 5 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=10,S6=30,求S9和S12的值. 解 (方法一)∵数列{an}为等差数列, ∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+S9-S6, ∴40=10+S9-30,∴S9=60. 又S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, ∴2(S9-S6)=S6-S3+S12-S9, ∴2×30=20+S12-60,∴S12=100. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 等差数列前n项和的性质的应用 (2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m ... ...
