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课件网) 第2章 §3 导数的计算 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 函数f(x)在x=x0处的导数求解步骤 (1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率 (3)当Δx趋于0时,得到导数 名师点睛 函数y=f(x)在点x0处的导数即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率. 思考辨析 导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征 提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)f'(x0)即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.( ) (2)若函数f(x)=x,则f'(1)=f'(2).( ) √ √ 2.求函数y=f(x)= 在x=3处的导数f'(3). 知识点2 导函数 一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数 ,那么称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'. f'(x)的值与Δx无关,同时又是关于x的函数 思考辨析 你会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗 提示 “函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f'(x0)是导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若y=f(x)=x,则f'(x)=1.( ) (2)若y=f(x)=x2,则f'(x)=2x.( ) (3)已知f'(x)=2x,则f'(3)=6.( ) √ √ √ 2.利用导函数的定义求函数f(x)=(2x+1)(3x-1)的导函数. 知识点3 基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y=c(c是常数) y'= y=xα(α是实数) y'= y=ax(a>0,a≠1) y'= 特别地(ex)'=ex y=logax (a>0,a≠1) y'= 特别地(ln x)'= 0 αxα-1 axln a 函数 导数 y=sin x y'= y=cos x y'= y=tan x y'= cos x -sin x 思考辨析 常数函数的导数为0说明什么 提示 说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若y=sin 60°,则y'=cos 60°.( ) (2)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x.( ) × × √ 2.[人教B版教材例题]求曲线y=sin x在(0,sin 0)处的切线方程. 解 因为y'=cos x,因此所求切线的斜率为cos 0=1,又因为sin 0=0,因此所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求函数在某一点处的导数 【例1】 (1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 ,则f'(x0)= . a (2)利用导数的定义求函数y=f(x)=x3在x=1处的导数. 规律方法 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 变式训练1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0. 探究点二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数: 解 (1)y'=0. 规律方法 1.若给出的函数解析式符合导数公式,则直接利用公式求导. 2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导,y= 可 以写成y=x-4,y= 等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 3.要特别注意“ 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别. 变式训练2求下列函数的导数. 解 (1)y'=(x12)'=12x11. 探究点三 利用导数公式解决切线问题 【例3】 已知P,Q为抛物线f(x)= x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为 . (1,-4) 解析 由抛物线方程 ... ...
