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课件网) 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第八章 立体几何初步 数学 学习目标 ①掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式． ②能解决与圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积相关的问题． 学习重难点 重点： 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式． 难点： 解决与圆柱、圆锥、圆台、球相关的实际问题． 在前面的学习中,我们学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积与体积的求法.今天我们将继续研究另一类空间几何体———圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积. 课堂导入 课堂探究 【问题探究】类比多面体的表面积求法，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形？ 结论：如图，圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是扇环. 探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 思考1 我们已经学习过圆柱、圆锥的体积公式，请同学们将公式写出来，并结合圆锥与圆台之间的关系，尝试推导出圆台的体积公式？ 结论：V圆柱 = πr2h，r是底面半径，h 是高； V圆锥 = πr2h，r是底面半径，h 是高； 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式： ，其中r，r′ 分别为上、下底面半径，h为圆台的高. 课堂探究 思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 结论：V柱体 = S·h（S 为底面积，h 为柱体高）； V锥体 = S·h（为底面积，h为锥体高）； （S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）. 课堂探究 思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 结论：当S′ = S 时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′ = 0 时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式，如图所示： 课堂探究 思考3 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 结论：如图所示. 课堂探究 球的表面积：设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S球 = 4πR2. 课堂探究 探究二 球的表面积和体积 思考4 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 结论：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.如图，把球O的表面分成 n 个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”. 课堂探究 思考4 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 当n 越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平. “小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是 . 由于球的体积就是这n 个“小锥体”的体积之和，而这n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积 课堂探究 【典例分析】 例1 如图， 某种浮标由两个半球和一个圈柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (π取3. 14) 解：一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8( ) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 （kg） 课堂探究 跟踪训练1 若一个圆柱的侧面展开图是 ... ...
