2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 学案（含答案）

2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 (1)了解空间直线的方向向量和平面的法向量的概念．(2)能通过空间向量的运算求出直线的方向向量和平面的法向量． 新知初探·课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点一　直线的方向向量 1．一般地，如果非零向量v与直线l_____，就称v为l的方向向量 . 2．已知空间直线l上一个_____以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置． 要点二　平面的法向量 1．如果非零向量n所在直线与平面α_____，则称n为平面α的法向量 . 2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面是完全_____的． 批注 　一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是互相平行的． 批注 　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线． 基 础 自 测　 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)若都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　) 2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3)　 B．(1，3，2) C．(2，1，3)　　 D．(3，2，1) 3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　) A．(－1，－2，5)　 B．(－1，1，－1) C．(1，1，1)　　 D．(1，－1，－1) 4．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝_____，y＝_____． 　题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　直线的方向向量及其求法 例1　如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量． 方法归纳 求直线l的一个方向向量，只需在直线l上找两点A，B，则即为直线l的一个方向向量． 巩固训练1　如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中点． 求直线BA1、AM的一个方向向量的坐标． 题型2　平面的法向量及其求法 例2　正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 方法归纳 在空间直角坐标系下，求平面法向量的一般步骤 巩固训练2　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的一个法向量； (2)求平面A1BC的一个法向量． 2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点一 1．平行　 2．定点A 要点二 1．垂直 2．确定 [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)× 2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)． 答案：A 3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0， (－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0， ∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量． 答案：B 4．解析：∵直线的方向向量平行， ∴＝＝， ∴x＝－20，y＝12. 答案：－20　12 题型探究·课堂解透 例1　 解析：以点D为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)， 故＝(4，0，5)，＝(－4，3，0)， 所以直线DA1与AC的方向向量分别为(4，0，5)，(－4，3，0)． 巩固训练1　 解析：以点B为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 所以B(0，0，0)、C(1，0，0)、A(0，，0)、A1(0，)、M(1，0，) 所以＝(0，)，＝(1，－)． 例2　解析：设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)， (1)设平面BDD1B1的一个法向量 ... ...