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课件网) 典例1 如图，AB=DE，AB DE，BE=CF。 试说明：AC=DF。 类型1 平移模型 【规范解答】因为BE=CF， 所以BE+CE=CF+CE，即BC=EF。 因为AB DE，所以∠B=∠DEF。 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，所以△ABC≌△DEF，所以AC=DF。 变式训练 1. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB DF，AB=DF。 （1）试说明：△ABC≌△DFE； （2）连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数。 解：（1）因为AB DF，所以∠A=∠EDF。 因为AD=CE，所以AD+CD=CE+CD，即AC=DE。 在 △ ABC 和 △ DFE 中 ，因 为 AB=DF，∠A=∠FDE，AC=DE，所以△ABC≌△DFE。 （2）因为△ABC≌△DFE，所以∠ACB=∠E，所以BC FE， 所以∠CFE=∠BCF=54°，所以∠DFE=∠DFC+∠CFE=20°+54°=74°。 类型2 对称模型 【规范解答】因为ED⊥AB，所以∠ADE=∠ACB=90°。 在△ABC和△AED中， 因为∠A=∠A，∠ACB=∠ADE，BC=ED， 所以△ABC≌△AED，所以AB=AE，AC=AD， 所以AE-AC=AB-AD，即CE=DB。 典例2 如图 ，在△ABC中 ，∠ACB=90°，点E在 AC的延长线上，ED⊥AB 于点 D，若 BC=ED。试说明：CE=DB。 变式训练 2.如图，∠C=∠D，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE。 （1）试说明：△AOC≌△BOD； （2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由。 解：（1）在△AOC和△BOD中， 因为∠AOC=∠BOD，∠C=∠D，AC=BD， 所以△AOC≌△BOD。 （2）OE⊥AB。理由如下：因为△AOC≌△BOD，所以AO=BO。 因为点E是AB中点，所以AE=BE。 在△AOE 和△BOE 中，因为 AO=BO，AE=BE，OE=OE， 所以△AOE≌△BOE，所以∠AEO=∠BEO=90°，所以OE⊥AB。 类型3 旋转模型 【规范解答】因为 AB⊥AC，AD⊥AE， 所以∠BAE+∠CAE=90° ，∠BAE + ∠BAD=90° ， 所 以 ∠CAE=∠BAD。 在 △ ABD 和 △ ACE 中 ， 因 为 ∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE， 所以△ABD≌△ACE， 所以BD=CE。 典例3 如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE。 试说明：BD=CE。 变式训练 3. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交 CD 于点 F，BD 分别交CE，AE于点G，H。试猜测线段AE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由。 解：AE=BD，AE⊥BD。理由如下： 因为∠ACD=∠BCE=90°，所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB。 因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，所以AC=CD，CE=CB。 在 △ ACE 和 △ DCB 中 ， 因 为 AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，所以△ACE≌△DCB， 所以AE=BD，∠CAE= ∠CDB。 所 以 ∠CDB + ∠AFC= ∠CAE +∠AFC=90°， 又因为∠AFC=∠DFH，所以∠CDB +∠DFH=90°，所以∠DHF=90°，所以AE⊥BD。 类型4 “一线三等角”模型（特殊的旋转模型） 【规范解答】因 为 ∠BDA= ∠BAC= α， 所 以 ∠DBA +∠BAD=180°-α=∠BAD+∠CAE， 所以∠ABD=∠CAE。 在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC， 所以△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE。 因为CE=a，BD=b， 所以DE=AD+AE=CE+BD=a+b。 典例4 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，A，E都在直 线 l 上 ，并 且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α。若 CE=a，BD=b，求 DE 的长度。（用含a，b的代数式表示） 4. 【新趋势 综合与实践】 数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E。由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到 △ABC≌△ DAE，进 而 得 到 AC=_____，BC=_____，我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； （2）【模型应用】如图 2，△ABC 为等边三角形，BD=CF，∠EDF=60°，试说明：BE=CD； （3）【模型改编】如图3， ... ...
