《高考快车道》2026版高三一轮总复习（数学）26　第三章　思维进阶课3　利用导数解决函数的零点问题（pdf版， 含解析）

　利用导数解决函数的零点问题 【思维突破妙招】　利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理． 技法一　数形结合法探究函数零点问题 [典例1]　(2024·湖北武汉模拟节选)已知函数f (x)＝ln x－ax2(a∈R )，讨论函数f (x)在区间上零点的个数． [解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，由f (x)＝0，得a＝， 令g(x)＝，x∈[1，e2]，则g′(x)＝， 由g′(x)>0，得1≤x<， 由g′(x)<0，得时，f (x)在上没有零点． 　含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题． [跟进训练] 1．(2024·广东汕头三模)已知函数f (x)＝x(ex－ax2)，若f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值． [解]　函数f (x)＝x(ex－ax2)在(0，＋∞)上只有一个零点，等价于y＝ex－ax2在(0，＋∞)上只有一个零点． 设g(x)＝ex－ax2，则函数g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，当且仅当g(x)＝0在(0，＋∞)上只有一解， 即a＝在(0，＋∞)上只有一解，于是曲线y＝(x>0)与直线y＝a只有一个公共点， 令φ(x)＝(x>0)，求导得φ′(x)＝，当0＜x<2时，φ′(x)<0，当x>2时，φ′(x)>0， 因此函数φ(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 函数φ(x)在x＝2处取得极小值同时也是最小值，即φ(2)＝， 当x→0时，φ(x)→＋∞；当x→＋∞时，φ(x)→＋∞， 画出φ(x)＝大致的图象，如图， g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝φ(2)＝， 所以f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝． 【教用·备选题】 已知函数f (x)＝ex－(a∈R)，试讨论函数f (x)的零点个数． [解]　由f (x)＝ex－＝0，得xex＝a(x≠0)， 设h(x)＝xex(x≠0)，则h′(x)＝(x＋1)ex， 当x＜－1时，h′(x)＜0； 当－1＜x＜0或x＞0时，h′(x)＞0， 所以h(x)＝xex在(－1，0)，(0，＋∞)上单调递增； 在(－∞，－1)上单调递减，所以h(x)min＝h(－1)＝－， 据此可画出h(x)＝xex的大致图象，如图所示， 所以①当a＜－或a＝0时，f (x)无零点； ②当a＝－或a＞0时，f (x)有一个零点； ③当－＜a＜0时，f (x)有两个零点． 技法二　借助函数的性质探究函数的零点问题 [典例2]　(2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋axe－x． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． [思维流程]　 [解]　(1)f (x)的定义域为(－1，＋∞)， 当a＝1时，f (x)＝ln (1＋x)＋，f (0)＝0，所以切点为(0，0)．f ′(x)＝，f ′(0)＝2，所以切线斜率为2， 所以曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝2x． (2)f (x)＝ln (1＋x)＋， f ′(x)＝＝， 设g(x)＝ex＋a(1－x2)， ①若a>0，当x∈(－1，0)时，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f ′(x)>0， 所以f (x)在(－1，0)上单调递增，f (x)0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a>0，即f ′(x)>0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)>f (0)＝0， 故f (x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意． ③若a<－1， (ⅰ)当x∈(0，＋∞)时，则g′( ... ...