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课件网) 3.6.1 代入消元法 第3章 一次方程（组） 【2024新教材】湘教版数学 七年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 3.5 认识二元一次方程组 在前面的学习中，我们已经掌握了一元一次方程及其应用，能够解决许多实际问题。但在实际生活里，有些问题仅用一个未知数难以描述和解决，这时就需要引入多个未知数，从而引出了二元一次方程组。接下来，我们就深入认识一下二元一次方程组。 一、二元一次方程的概念 （一）定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做二元一次方程 。例如\(x + y = 8\)，方程中含有\(x\)和\(y\)两个未知数，\(x\)和\(y\)的次数都是\(1\)，且等号两边都是整式，所以它是二元一次方程；再如\(2x - 3y = 1\)，同样满足含有两个未知数、未知数项次数为\(1\)以及整式方程这几个条件，也属于二元一次方程。 （二）一般形式 二元一次方程的一般形式为\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a 0\)，\(b 0\)） 。这里\(a\)、\(b\)分别是\(x\)、\(y\)的系数，\(c\)是常数项。例如在方程\(3x + 2y = 5\)中，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 5\) 。 （三）解的概念 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 。二元一次方程的解通常用大括号联立表示，如对于方程\(x + y = 5\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的一组解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入方程左边得到\(2 + 3 = 5\)，与右边相等；同时\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 4 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5 \end{cases}\)等也都是该方程的解 。不同于一元一次方程一般只有一个解，二元一次方程有无数组解，因为只要满足方程等式关系的两个未知数的值都可以作为它的解 。 二、二元一次方程组的概念 （一）定义 由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组 。例如\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，这个方程组由两个二元一次方程构成，所以是二元一次方程组；再如\(\begin{cases}3x + 2y = 10 \\ x = 2y \end{cases}\)，其中\(x = 2y\)可变形为\(x - 2y = 0\)，也满足两个二元一次方程的条件，同样是二元一次方程组 。需要注意的是，方程组中两个方程的未知数必须是相同的 。 （二）解的概念 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 。也就是说，这个解既要满足方程组中的第一个方程，又要满足第二个方程 。例如对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入\(x + y = 5\)中，\(2 + 3 = 5\)成立；代入\(2x - y = 1\)中，\(2 2 - 3 = 1\)也成立 。二元一次方程组一般有唯一一组解，但在特殊情况下，也可能无解或有无数组解 。 三、二元一次方程与二元一次方程组的区别和联系 （一）区别 方程个数：二元一次方程是单个方程，而二元一次方程组是由两个方程组成 。 解的个数：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组一般有唯一一组解（特殊情况除外） 。 （二）联系 二元一次方程组中的每个方程都是二元一次方程；二元一次方程组的解同时是组成该方程组的两个二元一次方程的解 。 四、列二元一次方程组解决实际问题 （一）解题步骤 审题：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的已知条件和所求问题 。 设未知数：设出两个未知数，一般用\(x\)、\(y\)表示 。 找等量关系：根据题目中的条件，找出两个不同的等量关系 。 列方程组：依据等量关系，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组 。 求解方程组：后续会学习 ... ...
