4.4.3 不同函数增长的差异 ——— (教学方式:深化学习课梯度进阶式教学) [课时目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长速度的差异. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较. 三种常见函数模型的增长差异 项目 y=ax(a>1) y=kx (k>0) y=logax (a>1) 在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐渐与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐与x轴平行 增长 速度 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢; ②存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax |微|点|助|解| (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型; (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型; (3)一次函数增长速度不变,平稳变化; (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. ( ) (2)对任意的x>0,kx>logax. ( ) (3)对任意的x>0,ax>logax. ( ) (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型. ( ) 2.下列函数中,随x的增大而增大且速度最快的是 ( ) A.y=ex B.y=ln x C.y=3x D.y=e-x 3.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用 ( ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 4.某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为 . 题型(一) 几个函数模型增长差异的比较 [例1] 已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表: x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 4 8 16 24 32 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 ( ) A.y1=4x,y2=2x,y3=log2x B.y1=2x,y2=4x,y3=log2x C.y1=log2x,y2=4x,y3=2x D.y1=2x,y2=log2x,y3=4x 听课记录: |思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点 常见函数模型 增长特点 一次 函数模型 一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变 指数 函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸” 对数 函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓 [针对训练] 1.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 ( ) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 2.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当01时,丁走在最后面; ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为 . 题型(二) 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例2] 函数f(x)=2x和 g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
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