中小学教育资源及组卷应用平台 基本不等式 基本不等式 如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. 其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成 立. 考点一 根据积（或和）为定值求最值 求和的最小值，凑积为定 求积的最大值，凑和为定 【例1】求下列代数式的最值 (1)若，求最大值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为，故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为； （2）因为，所以，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为. 变式1求函数的最小值； 【例2】 设且，则的最大值为 【答案】 【详解】由题意，由均值不等式，当时，， 当且仅当即时等号成立，故，即 当且仅当即时等号成立，故答案为： 变式2已知正实数，满足，则的最大值为 .（积可以同时乘除一个数，凑系数比一致） 考点二 积，和，平方和的常见变形 方法总结：利用基本不等式转化为要求的形式，然后再进行等价代换，最后解一个一元二次不等式。 【例3】设，，，则（ ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【答案】B 【详解】因为，，，设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误，故选：B 【例4】已知实数，，且 （1）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值； （2）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值. 【答案】(1)最小值为，此时；(2)最小值为4，此时. 【详解】（1）时，，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， （2）时，， 变形为，即，， 其中，故， 因为，解得：，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，此时. 变式3 实数、，，且满足，则的最小值是 变式4 已知正实数，满足，则的最小值是 . 考点三 “1”的妙用（探究整式与分式之间的最值） 【例5】已知整式求分式 【例6】已知分式求整式 【总结规律】“1”的妙用的特征是：1、条件等式一共有三项；2、其中两项的次数相同，第三项的次数差1； 变式5 已知，则的最小值为（ ） A． B．0 C．1 D． 两个分式的和最小值（凑分母的和为常数） 【例7】设，若，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】因为，所以 ，因，故，又， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9 变式6 已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 A．4 B．6 C． D． “1”的代换 【例8】设，，，则的最小值为_____． 【答案】#. 【详解】因为，所以 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故答案为：. 变式7 已知，且，则的最小值是( ) A．49 B．50 C．51 D．52 变式8 已知，且，求的最小值； 考点四 “1”的妙用之换元法（当分母是多项式时，将分母整体换元） 【例9】已知，，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】令，，则，，且，， 所以，． 又，所以， 当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：12 【例10】已知，，，则取到最小值为 ． 【答案】． 【详解】试题分析：令，∴， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 即的最小 ... ...
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