中小学教育资源及组卷应用平台 一元二次不等式 知识点一 解一元二次不等式分式不等式 【例1】(1)； (2)； (3). (4)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）由可得，解得或，故原不等式的解集为. （2）由可得，解得，故原不等式的解集为. 由，得，解得或，故不等式的解集为. （3）由，得，解得或，故不等式的解集为. （4）等价于，解得，故原不等式的解集为. 变式1 (1). (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）由可得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. （2）由，得，解得，故不等式的解集为. （3）由，得，即， 解得或，故不等式的解集为. （4）由，得，即，解得，故不等式的解集为. 知识点二 一元二次不等式解集与系数的关系 【例2】若关于的不等式的解集为，则的值是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】不等式的解集为，则方程的两根为， 由韦达定理得：，，可得，故. 故选：. 【例3】若的解集为，解不等式：. 【答案】 【详解】因为的解集为， 所以，且1和3是方程，所以，得 则所求不等式变为，所以，即，解得或. 所以所求不等式的解集为. 【例4】已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)；(2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得，解得：，； （2）由（1）知不等式为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 变式2 若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 【答案】 【详解】解：不等式等价于，解得：，解集相同， 不等式的解集为， 由方程与不等式的关系可知：的根为：，由韦达定理：， 解得：，，故答案为：，． 变式3 （多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得，则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 变式4 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故；乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得，所以解集为. 故选：D. 知识点三 解含参一元二次不等式 【例5】解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为；或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 变式5 解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当 ... ...
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