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课件网) 11.3.2 两数和(差)的平方 1.理解并掌握两数和(差)的平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，并能够灵活应用.（重点） 2.理解两数和(差)的平方公式的结构特征，灵活应用两数和(差)的平方公式.（难点） 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 1.(p+1)2＝(p+1)(p+1)＝ . p2+2p+1 2.(m+2)2＝(m+2)(m+2)＝ . m2+4m+4 上面的几个运算都是形如(a+b)2的多项式计算. (a+b)2＝(a+b)(a+b) ＝a2+ab+ab+b2 ＝a2+2ab+b2 我们又得到一个漂亮的结果: (a+b)2=a2＋2ab＋b2. 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. 利用这个公式， 可以直接计算两 数和的平方. 公式特征：1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍； 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. a2 b2 ab ab a b a+b a+b a b a2 ab ab b2 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： (a+b)2＝a2 + 2ab + b2 例1 计算： (1)(2x＋3y)2; （2）(2a＋)2. 解:（1）(2x+3y)2 ＝(2x)2+2 2x 3y+(3y)2 ＝4x2+12xy+9y2； （2）(2a＋)2 ＝(2a)2＋2·2a·＋()2 ＝4a2＋2ab＋ 推导两数差的平方公式(a-b)2 注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算 这样就得到了两数差的平方公式： （a-b)2= . a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a-b)2＝[a＋(-b)]2 ＝a2＋2a(-b)＋(-b)2 ＝a2-2ab＋b2 例2 计算： (1)(3x-2y)2; （2）(－m＋1)2. 解:（1）(3x-2y)2 ＝(3x)2-2 3x 2y+(2y)2 ＝9x2-12xy+4y2； （2）方法1:(－m＋1)2 ＝(－m)2+2 (－m) 1+12 ＝m2-m+1； （2）方法2:(－m＋1)2 ＝(1－m)2 ＝12-2 1 m+(m)2 ＝1-m+m2. 例3 运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3); （2）(a＋b＋c)2. 解:(1)原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]; ＝x2－(2y－3)2 ＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－4y2＋12y－9； (2)原式＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2. 解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. (a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么 ①(a+b)2与(-a-b)2相等. 理由:(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2. ②(a-b)2与(b-a)2相等. 理由:(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2. ③(a-b)2与a2-b2不一定相等. 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. (1) 1022； 解： 1022 =(100+2)2 =10 000+400+4 =10 404； (2) 992. 解：992 =(100–1)2 =10 000-200+1 =9 801. 例4 运用两数和(差)的平方公式计算： 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 例5 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 1．若x2＋6x＋k是两数和(差)的平方公式，则k等于( ) A．9 B．－9 C．±9 D．±3 A 2．下列变形中，错误的是( ) ①(b－4c)2＝b2－16c2； ②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2； ③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2； ④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ A 3.下列计算正确的是( ) A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D 4.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于( ) A．2 B．1 C．－2 D．－1 B 5.利用两数和(差)的平方公式计算： (1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2； ＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2) ＝x2－6xy＋9y2. ＝ ... ...
