24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形 1.理解解直角三角形的意义. 2.理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解决简单问题. 3.通过观察、猜想等数学活动过程,提高自己的逻辑推理能力. 重点:掌握解直角三角形的方法. 难点:能够把实际问题转化成解直角三角形的问题. 思考:在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)根据∠A=60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗 (2)根据AC=,BC=,你能求出这个三角形的其他元素吗 (3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗 解:(1)能. (2)能. (3)不能. 问题1: 1.如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下,树顶落在离树根12 m处.大树在折断之前高多少 解:将实物图抽象成如图所示的直角三角形ABC, 由勾股定理,得AB===13. 所以大树高13+5=18(m). 答:大树在折断之前高为18 m. 2.第1题中,∠A,∠B可求吗 解:可求. [归纳] 解直角三角形概念: 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 问题2:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,解直角三角形. 解:在Rt△ABC中,AC==,sin A==, 所以∠A=60°. 所以∠B=90°-60°=30°. [归纳] (1)已知两条边的情况:勾股定理求边;三角函数求角. (2)已知一个锐角和一条边的情况:根据两锐角互余求角;根据三角函数求边. (3)解直角三角形的依据: ①三边之间的关系:a2+b2=c2; ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; ③边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=; ④面积公式:S△ABC=a·b=c·h. 范例应用 例1 某岛屿的平面图如图(1)所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图(2)所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15 km,CD=3 km. 请据此解答如下问题: (1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449) (2)连结AC,求∠ACD的余弦值. 解:(1)因为AB=BC=15 km,∠B=90°, 所以∠BAC=∠ACB=45°. 所以AC==15(km). 又因为∠D=90°, 所以AD===12(km), 所以周长为AB+BC+CD+DA=30+3+12≈55(km), 面积为S△ABC+S△ADC=×15×15+×3×12≈157(km2). (2)在Rt△ACD中,cos∠ACD===. [方法归纳]解决四边形问题通常通过辅助线分割成直角三角形来解决.正确作出辅助线是关键. 例2 如图所示,在△ABC中,AB=1,AC=,sin B=,求BC的长. [点拨]要求的BC边不在直角三角形中,已知条件中有∠B的正弦值,作BC边上的高,将∠B置于直角三角形中,利用解直角三角形就可解决问题. 解:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D. 因为AB=1,sin B=, 所以AD=AB·sin B=1×=. 所以BD===. 所以CD===. 所以BC=CD+BD=+=. [方法归纳]通过作垂线(高),将斜三角形分割成两个直角三角形,然后利用解直角三角形来解决边或角的问题,这种“化斜为直”的思想很常见.在作垂线时,要结合已知条件,充分利用已知条件,如本题若过B点作AC的垂线,则∠B的正弦值就无法利用. 例3 如图所示,C处是一钻井平台,位于某港口A的北偏东60°方向上,与港口A相距60 n mile,一艘摩托艇从A出发,自西向东航行至B时,改变航向以每小时50 n mile的速度沿BC方向行进,此时C位于B的北偏西45°方向,则从B到达C处需要多少小时 解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,则∠CDA=∠CDB=90°, 由题意,得∠MAC=60°,∠NBC=45°,AC=60 n mile, 在Rt△ACD中,∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°,sin∠CAD=, 所以CD=AC·sin∠CAD=60×=30(n mile). 在Rt△BCD中,∠CBD=∠NBD-∠NBC=90°-45°=45°,sin∠CBD=, 所以BC===60(n mile). 所以60÷50=1.2(h). 答:从B处到达C处需要1.2 h. 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AB等于(D) A.4 B.6 C.8 D.10 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,则∠B的度数是(A) A.30° B.45° C.60° D.75° 如图所示,在Rt ... ...
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