24.2 直角三角形的性质 1.理解掌握直角三角形的性质定理,并能灵活运用. 2.继续学习几何证明的分析方法,懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 重点:直角三角形的性质及其应用. 难点:直角三角形性质的论证及应用. 已经学过的直角三角形的性质: (1) 直角三角形的两个锐角互余 . (2) 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) . 问题1:如图所示,画Rt△ABC,并画出斜边AB上的中线CD.量一量,看看CD与AB有什么关系. (1)猜一猜,量一量: AD= BD =AB;CD = AD = BD;CD= AB. (2)猜想:直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系 解:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (3)证明: 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB. 证明:如图所示,延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE, 因为CD是斜边AB上的中线, 所以AD=DB. 又因为DE=CD,所以四边形ACBE是平行四边形. 又因为∠ACB=90°, 所以四边形ACBE是矩形, 所以CE=AB.所以CD=CE=AB. [归纳] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言:在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,所以CD=AB. 问题2:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,求证:BC=AB. 解:如图所示,作斜边AB上的中线CD, 则CD=AB=AD=BD. 因为∠A=30°,∠ACB=90°, 所以∠B=60°. 所以△BCD是等边三角形. 所以BC=CD=AB. [归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 范例应用 例1 如图所示,测量垂直于地面的旗杆AB的高度时,先在地面上选择一点C,使∠ACB=15°,然后朝着旗杆方向前进到点D,测得∠ADB=30°,量得CD=13 m,求旗杆AB的高度. 解:因为∠ACB=15°,∠ADB=30°, 所以∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°. 所以∠ACB=∠CAD. 所以AD=CD=13 m. 在△ADB中,因为AB⊥DB,∠ADB=30°, 所以AB=AD=×13=6.5(m). 答:旗杆AB的高度为6.5 m. 例2 如图所示,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,G,F分别是BC,DE的中点,连结GF.求证:GF⊥DE. 证明:如图所示,连结GE,GD. 在△ABC中,因为BD,CE分别是AC,AB边上的高, 所以△BEC和△BDC是直角三角形. 因为G是BC的中点,所以GE=BC=GD. 所以△GED是等腰三角形. 因为F是DE的中点,所以GF⊥DE. [方法归纳]在直角三角中看到中点,经常用构造斜边的中线的方法,再用“斜边的中线等于斜边的一半这个性质”,这是常用到的辅助线. 例3 如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的长. 解:如图所示,延长DA,CB交于点E. 因为∠D=90°,∠C=60°, 所以∠E=30°. 在Rt△ABE中,∠E=30°, 设AB=x,则AE=2x. 根据勾股定理,得BE==x. 所以CE=BC+BE=4+x. 在Rt△DCE中,因为∠E=30°, 所以CD=CE,即(4+x)=3, 解得x=. 故AB的长为. 例4 如图所示,在△ABC中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,DG⊥CE,G为垂足. (1)求证:DC=BE; (2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数. (1)证明:如图所示,连接DE. 因为G是CE的中点,DG⊥CE, 所以DE=DC. 因为AD是高,CE是中线, 所以DE=BE=AB. 所以DC=BE. (2)解:因为DE=DC,所以∠DEC=∠BCE. 所以∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE. 因为DE=BE,所以∠B=∠EDB. 所以∠B=2∠BCE. 所以∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°. 所以∠BCE=22°. 1.如图所示,在△ABC中,AB=AC=12,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连结DE,则△CDE的周长为(C) A.20 B.12 C.16 D.13 第1题图 第2题图 2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为(C) A.6 B.8 C.9 D.3 3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,AD恰好平分∠BAC.若DE=1,则BC的长是 3 . 第3题图 第4题图 4.如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与B ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
