2.2　空间向量的数量积（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册 第三章

2.2　空间向量的数量积 课时目标 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影向量. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. (一)数量积的定义 1.向量夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. 2.规定 (1)向量夹角的范围：_____. (2)①〈a，b〉＝〈b，a〉； ②当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向_____； ③当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向_____； ④当〈a，b〉＝时，称向量a，b_____，记作a⊥b. (3)零向量与任意向量垂直. 3.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量a，b，把_____叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝　　　　　　　　. 微点助解 (1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b，有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与的夹角不等于向量与的夹角.(　 ) (2)若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.(　 ) (3)对空间任意两个非零向量a，b，都有〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉.(　 ) 2.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与夹角的大小为_____，·＝_____. (二)数量积的性质及运算律 1.性质 若a，b是两个非零向量，则a⊥b _____，零向量与任何向量的乘积都为零 若a与b同向，则a·b＝_____； 若a与b反向，则a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝_____ 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____(a≠0，b≠0) |a·b|≤|a|·|b| 2.运算律 交换律 a·b＝_____ 分配律 a·(b＋c)＝_____ 特别地 (λa)·b＝_____(λ∈R) 3.投影向量与投影数量 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量_____为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos〈a，b〉|. (1)当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉＞0； (2)当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉＜0； (3)当〈a，b〉＝时，|b|cos〈a，b〉＝0. 称_____为投影向量的数量，也称为向量b在向量a方向上的投影数量. [基点训练] 1.[多选]下列各命题中，正确的命题是(　 ) A.＝|a| B.m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C.a·(b＋c)＝(b＋c)·a D.a2·b＝b2·a 2.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　 ) A.1 B.0 C.－1 D.－2 题型(一)　空间向量的数量积 [例1]　如图，已知空间四边形ABDC的每条棱都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点.计算： (1)·；(2)·；(3)·. 听课记录： 　 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.　 [针对训练] 1.如图，在三棱锥P ABC中，AP，AB，AC两两垂直，AP＝2，AB＝AC＝1，M为PC的中点，则·的值为(　 ) A.1 　　　B. C. 　　　D. 　 　 2.如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)＝_____，a·(a＋b＋c)＝_____，(a＋b)·(b＋c)＝_____. 题型(二)　利用数量积证明垂直问题 [例2]　如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证： (1)AO⊥CD′； (2)AC′⊥平面B′CD′. 听课记录： [方法技巧] 用向量法证明垂直问题的方法 (1)证明线线垂直，只需证明两条直线的 ... ...