3.1 空间向量基本定理 课时目标 1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法. 2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角. (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝_____. (2){a，b，c}叫作空间向量的_____，其中a，b，c都叫作_____. 微点助解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)一组基是一个向量组，一组基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基.( ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基.( ) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(λ1，λ2，λ3)，使0λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( ) (4)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则a，b，c全不是零向量.( ) 2.正方体ABCD A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是( ) A.1,1,1 B.，， C.，， D.2,2,2 题型(一) 基的判断 [例1] [多选]若{a，b，c}是空间的一组基，则下列各组能构成空间的一组基的是( ) A.{a＋b，a－b，c} B.{a＋b，b＋c，c＋a} C.{3a－4b,2b－3c,3a－6c} D.{a＋b，a＋b＋c,2c} 听课记录： 判断给出的三个向量能否构成基的方法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面. [针对训练] 1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一组基的一组向量是( ) A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a,2b，b－c D.c，a＋c，a－c 题型(二) 用基表示向量 [例2] 如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点.用一组基{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2). 听课记录： [方法技巧] 用基表示向量的一般步骤 定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 [针对训练] 2.如图，四棱锥P OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，. 题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题 [例3] 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°. (1)求证：AC1⊥DB； (2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值. 听课记录： 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基. (2)将所求向量用基表示. (3)将几何问题转化为向量问题： ①将距离和线段长转化为向量的模； ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； ③将空间角问题转化为向量夹角问题. [针对训练] 3.如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是 ... ...
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