3.2 函数的最值 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) [课时目标] 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值． 2．会利用函数最大(小)值的定义及单调性求函数的最大(小)值． 3．会根据问题情境理解函数最大(小)值的作用和实际意义． 1.函数的最大(小)值 最大值 最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 (1) x∈D,都有_____;(2) x0∈D,使得_____ (1) x∈D,都有_____;(2) x0∈D,使得_____ 那么,我们称M是函数y=f(x)的_____ 那么,我们称M是函数y=f(x)的_____ 2．函数的最值和值域的区别和联系 联系 函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域 区别 ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R，都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内；③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值 题型(一) 图象法求函数的最值 [例1] 已知函数f(x)＝ (1)在直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 听课记录： |思|维|建|模| 利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． [针对训练] 1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 题型(二) 利用单调性求函数最值 [例2] 已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值． 听课记录： |思|维|建|模| 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． [提醒] (1)求最值勿忘求定义域；(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [针对训练] 2．已知函数f(x)＝＋1. (1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明． (2)求f(x)在[1,3]上的最值． 题型(三) 一元二次函数的最值 [例3] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值． 听课记录： [变式拓展] 1．本例条件“x∈[－2,0]”变为“x∈[－2,3]”，则f(x)的最值为_____． 2．本例条件“x∈[－2,0]”变为“x∈[t，t＋1]”，则f(x)的最小值g(t)＝_____. |思|维|建|模| 二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． [针对训练] 3．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1,3]，且a，b为常数． (1)若a＝1，求f(x)的最大值； (2)若a>0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值． 函数的最值 1．f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 最大值 最小值 [题型(一)] [例1] 解：(1)图象如图所示． (2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1，3]． [针对训练] 1．解：由题意，得y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]． [题型(二)] [例2] 解：设x1，x2∈[2,4]，且x10，x2－1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)x1>0，所以x1＋x2>0，x2－x1>0，(x1x2)2>0， ... ...
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