16.3.2 完全平方公式 第1课时 【教学目标】 1.理解完全平方公式的推导和应用. 2.掌握完全平方公式的应用. 3.利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法. 【重点难点】 重点:完全平方公式的推导和应用. 难点:完全平方公式的应用.从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,利用几何模型和割补面积的方法来验证公式的正确性. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 请同学们探究下列问题: 一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块塘,…… (1)第一天有a个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖 (2)第二天有b个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖 (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖 (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多 多多少 为什么 我们上一节学了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2,现在遇到了两个数的和的平方,这正是我们这节课要研究的问题. 二、探究归纳 活动一:完全平方公式的探索 问题: 1.计算下列各式,你能发现什么规律 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_____; (2)(m+2)2=_____; (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_____; (4)(m-2)2=_____; (5)(a+b)2=_____; (6)(a-b)2=_____. [生甲](1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1. (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4. (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p·(-1)+(-1)·p+(-1)×(-1)=p2-2p+1. (4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2+m·(-2)+(-2)·m+(-2)×(-2)=m2-4m+4. (5)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2. (6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2. [生乙]我还发现(1)结果中的2p=2·p·1,(2)结果中4m=2·m·2,(3)、(4)与(1)、(2)比较只有一次项有符号之差,(5)、(6)更具有一般性,我认为它可以做公式用. 通过计算你有什么新的发现 请类比上节课平方差公式的学习过程,试着用语言叙述或式子表达出来. 学生交流,讨论. 2.总结:完全平方公式 (1)文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍. (2)符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2. 3.分析特点:口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减. 4.完全平方公式和平方差公式不同: (1) 形式不同.结果不同: 完全平方公式的结果是三项,即 (a±b)2=a2±2ab+b2; 平方差公式的结果是两项, 即(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)解题过程中要准确确定a和b,对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不漏乘2. 活动二:完全平方公式的验证: 1.学生可以通过计算来验证. 2.如学生想不到通过面积法,教师提示上一节课平方差公式的面积验证过程,提示如何验证(a+b)2=a2+2ab+b2. 先看图1,可以看出大正方形的边长是a+b,还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a,所以它的面积是a2.另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2.另外两个矩形的长都是a,宽都是b,所以每个矩形的面积都是ab;大正方形的边长是a+b,其面积是(a+b)2.于是就可以得出:(a+b)2=a2+2ab+b2. 3.学生尝试验证(a-b)2=a2-2ab+b2,分组交流,各组展示: 如图2中,大正方形的边长是a,它的面积是a2;矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形,长都是a,宽都是b,所以它们的面积都是ab;正方形HCGM的边长是b,其面积就是b2;正方形AFME的边长是(a-b),所以它的面积是(a-b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积,也就是(a-b)2=a2-2ab+b2. 总结:完全平方公式 (1)文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上( ... ...
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