8.6.1 直线与直线垂直——— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) [课时目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系． 2．理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法． 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_____所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围：_____. |微|点|助|解| (1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)两条异面直线所成的角θ∈. (3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 2．两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是_____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作_____． |微|点|助|解| 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)异面直线所成角的大小与点O的位置有关．即点O位置不同时，这一角的大小也不同．( ) (2)异面直线a与b所成的角可以是0°.( ) (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( ) 2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是_____． 题型(一) 求异面直线所成的角 [例1] 如图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值． 听课记录： [变式拓展] 将本例变为： 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角． |思|维|建|模| 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角———用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求———转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论———设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． [针对训练] 1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为面A′B′C′D′与面AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是_____． 2.在正四棱锥P－ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，求异面直线AP与DE所成角的余弦值． 题型(二) 证明直线与直线垂直 [例2] 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 听课记录： |思|维|建|模| 证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明． (2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明． [针对训练] 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 题型(三) 异面直线所成角的综合问题 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，求MN的长． 听课记录： |思|维|建|模| 当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． [针对训练] 4.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝12 ... ...
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