3.2.1 等比数列的前n项和公式(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式;理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 1.等比数列的前n项和公式 [微点助解] 一般地,使用等比数列求和公式时需注意 ①一定不要忽略q=1的情况. ②知道首项a1、公比q和项数n,可以用; 知道首尾两项a1,an和q,可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个. 2.等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+). (3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: ①在其前2n项中,=q; ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).S奇=a1+qS偶. (4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+) 数列{an}为等比数列. [微点助解] 当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比数列;当q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比数列. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. ( ) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. ( ) (3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. ( ) 2.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.数列{2n-1}的前99项和为 ( ) A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299 4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为 ( ) A.8 B.-2 C.4 D.2 5.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn= . 题型(一) 等比数列前n项和的基本运算 [例1] 求下列等比数列前n项和: (1),,,…,求S8; (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5. 听课记录: [思维建模] 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意:q=1和q≠1的讨论) [针对训练] 1.在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 题型(二) 等比数列前n项和的性质及应用 [例2] (1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n= ( ) A.60 B.61 C.62 D.63 (2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为 ,项数为 . 听课记录: [变式拓展] 在例2中,若把条件换为“Sn=2,S2n=6”,求S4n. [思维建模] 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和 q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. [针对训练] 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 ( ) A. B.- C. D. 4.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 题型(三) 等比数列前n项和的综合应用 [例3] 已知等差数列{an}满足a3=7,a2+a6=20. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}的前n项和为 ... ...
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