第一章 3.2.2　数列求和（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

3.2.2　数列求和(深化课———题型研究式教学) 课时目标 进一步理解等差、等比数列,会利用分组转化法,裂项相消法、错位相减法等求和. 题型(一)　分组转化法求和 [例1]　已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S7=49. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn. 听课记录: [思维建模] 分组法求数列的前n项和的方法技巧 　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和. 　　[针对训练] 1.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn. 题型(二)　裂项相消法求和 [例2]　设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S4=10,S7=28. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 听课记录: [思维建模] 　　对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂项法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项. 　　[针对训练] 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n,n∈N+. (1)证明:数列{an}是等差数列; (2)已知bn=,求数列{bn}的前n项和. 题型(三)　错位相减法求和 [例3]　(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,且4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 听课记录: [思维建模] 1.错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和Sn. 2.注意事项 (1)利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式. (2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}满足:a1=1,且对于任意正整数n,均有n(an+1-an)=an+2n2+2n. (1)证明:为等差数列; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 数列求和 [题型(一)] [例1]　解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 又2a2+a4=13,S7=49, 所以 解得a1=1,d=2, 所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)知bn=an+=2n-1+22n-1, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2n-1+22n-1)=(1+3+5+…+2n-1)+(2+23+25+…+22n-1)=+=+n2. [针对训练] 1.解:(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+), 当n=1时,a2=2+a1=2+2=4, 当n≥2时,由an+1=2+Sn可得an=2+, 上述两个等式作差可得an+1-an=an,可得an+1=2an,又因为a2=2a1,所以数列{an}为等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2×2n-1=2n. (2)由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n, 所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+(4+42+43+…+4n)=+=n2+. [题型(二)] [例2]　解:(1)∵{an}是等差数列,设公差为d, ∴ ∴an=n. (2)由(1)得an=n,则==,∴Tn= ==-. [针对训练] 2.解:(1)证明:∵Sn=n2-4n,n∈N+,① ∴当n=1时,a1=S1=-3; 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2-4(n-1)=n2-6n+5.② 由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-5. 当n=1时,a1=-3满足上式, ∴数列{an}的通项公式为an=2n-5,n∈N+. ∴an+1-an=2,为常数,∴数列{an}是等差数列. (2)由(1)知bn==, ∴数列{bn}的前n项和为 ++…+===--,n∈N+. [题型(三)] [例3]　解:(1)当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4.当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4,所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1,即an=-3an-1,又a1=4≠0,故an≠0,故=-3,所以数列{an}是以4为首项,-3为公比的等比数列,所以an=4·(-3)n-1. (2)bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1. 故3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n×3n, 所以-2Tn=4+4×31+4×32+…+4×3n-1-4n×3n=4+4×-4n×3n=4+2×3×(3n-1-1)-4n×3n=(2-4n)×3n-2, 所以Tn=(2n-1)×3n+1. [针对训练] 3.解:(1)证明:根据 ... ...