3 导数的计算(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 1.导函数 如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f'(x)= ,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为 的导函数,也简称为 ,有时也将导数记作y'. 2.导数公式表 函数 导数 函数 导数 y=c (c是常数) y'= y=sin x y'= y=xα (α是实数) y'= y=cos x y'= y=ax (a>0,a≠1) y'= 特别地(ex)'= y=tan x y'= y=loga x (a>0,a≠1) y'= 特别地(ln x)'= [微点助解] 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. [基点训练] 1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 ( ) A.- B. C.- D.0 2.若f(x)=,则f'(1)等于 ( ) A.0 B.- C.3 D. 3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.± 题型(一) 求基本初等函数的导数 [例1] 求下列函数的导数: (1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ; (4)y=lox;(5)y=cos; (6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex. 听课记录: [思维建模] 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. [针对训练] 1.求下列函数的导数: (1)y=6x;(2)y=x2; (3)y=cos2-sin2. 2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值. 题型(二) 利用导数公式求曲线的切线方程 [例2] 已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程. 听课记录: [变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值. 2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程. 3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围. [思维建模] 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. [针对训练] 3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A.e2 B.2e2 C.e2 D. 4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 题型(三) 导数公式的实际应用 [例3] 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为 ,质点运动的加速度为 . 听课记录: [思维建模] 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. [针对训练] 5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 导数的计算 课前环节 1. y=f(x) 导数 2.0 αxα-1 axln a ex cos x -sin x [基点训练] 1.选D ∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0. 2.选D 因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=. 3.选C 依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2. 课堂环节 [题型(一)] [例1] 解:(1)y'=-3x-4. (2)y'=3xln 3. (3)y= = =, ∴y'== . (4)y'==-. (5)y=sin x,y'=cos x. (6)y'=0. (7)y'=. (8)y'=ex. [针对训练] 1.解:(1)y'=(6x)'=6xln 6. (2)y'=(x2)'=()'==. (3)∵y=cos2-sin2=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 2.解:f'(x)=(logax)'=, 由题得f'(2)==, 所以ln a=ln 2,得a=2. [题型(二)] [例2] 解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,即切线斜率为,所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. [变式拓展] 1.解:设切 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
