7 导数的应用(深化课———题型研究式教学) 课时目标 利用导数的定义,能解析实际问题中导数的意义.利用导数解决生活中的最优化问题. 题型(一) 导数的实际意义 [例1] 通过某导体横截面的电量q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数关系式为q(t)=2t3+3t. (1)求当t从1 s变到5 s时,电量q关于时间t的平均变化率,并解释它的实际意义; (2)求q'(5),并解释它的实际意义. 听课记录: [针对训练] 1.线段AB长10米,在它的两个端点处各有一个光源,线段AB上的点P距光源A x米,已知点P受两个光源的总光照度I(x)=+,其单位为:勒克斯. (1)当x从5变到8时,求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率,它代表什么实际意义 (2)求I'(5)并解释它的实际意义. 题型(二) 几何中的最值问题 [例2] 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值 (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值 听课记录: [针对训练] 2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为 cm. 3.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小 题型(三) 生活中的实际应用问题 [例3] 某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3=20). 听课记录: [针对训练] 4.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小 导数的应用 [题型(一)] [例1] 解:(1)当t从1 s变到5 s时,电量q从5 C变到265 C,此时电量q关于时间t的平均变化率为==65(C/s),它表示从1 s到5 s这段时间内,平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C. (2)∵q'(t)=6t2+3, ∴q'(5)=6×52+3=153(C/s), 它表示在t=5 s时,每秒通过该导体横截面的电量为153 C,即电流强度为153 C/s. [针对训练] 1.解:(1)当x从5变到8时,点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为 = ==0.005(勒克斯/米), 它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中,距离每增加1米,光照度平均增强0.005勒克斯. (2)∵I(x)=+, ∴I'(x)=8·(-2·x-3)+ =-+. ∴I'(5)=-+ =-=-0.112(勒克斯/米). 它表示点P与光源A距离5米时,点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米. [题型(二)] [例2] 解:(1)设包装盒的底面边长为a,高为h, 则由题意可得,a=x,h==(30-x),其中00;当x∈(20,30)时,V'<0. 所以,函数V=2x2(30-x)在区间(0,20)上单调递增,在区间(20,30)上单调递减, 所以,当x=20时,函数V=2x2(30-x)取得极大值,也是最大值. [针对训练] 2.解析:设该漏斗的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积为V=πx(202-x2)=π(400x-x3)(0
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